Woche 14

Überblick

Thema	Inhalte	Folien	Video	Buch	Training
7	Normalverteilung	119-146	7t-v	5.4	5.4
	Binomialverteilung	147-160	7w-x	5.5	5.5
					Quiz

Normalverteilung

7t

7u

7v

Binomialverteilung

7w

7x

Quiz

a

Welche der folgenden Aussagen zur Normalverteilung sind richtig?

Im Intervall \([\mu \pm \sigma]\) liegen etwa 95% der Daten einer Normalverteilung.Wegen der Symmetrie der Normalverteilung gilt \(\Phi(z) = - \Phi(-z)\).Für das \(\alpha\)-Quantil \(N_\alpha\) der Standardnormalverteilung gilt \(\Phi(N_\alpha) = \alpha\).Die Dichtefunktion \(\phi(x)\) der Standardnormalverteilung hat keine einfache Darstellung, weshalb für die Berechnung Computerprogramme oder Tabellen verwendet werden.Wenn \(X\) normalverteilt ist mit Mittelwert \(\mu\) und Varianz \(\sigma^2\), dann ist \(Z = (X - \mu)/\sigma\) standardnormalverteilt.

Details zur Normalverteilung werden auf den VO-Folien zu Thema 7 im Abschnitt Normalverteilung vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 5.4.

• Falsch. Im Intervall \([\mu \pm \sigma]\) liegen etwa 2/3 der Daten (genau: 68.3%) und im Intervall \([\mu \pm 2 \sigma]\) liegen etwa 95% der Daten (genauer: \(\mu \pm 1.96 \sigma\)).
• Falsch. Wegen der Symmetrie gilt \(\phi(z) = \phi(-z)\) sowie \(\Phi(z) = 1 - \Phi(-z)\).
• Richtig. Das \(\alpha\)-Quantil ist jener Wert \(N_\alpha\), den die Zufallsgröße mit Wahrscheinlichkeit \(\alpha\) nicht überschreitet. Es gilt also \(\alpha = P(Z \le N_\alpha) = \Phi(N_\alpha)\).
• Falsch. Die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung hat die Darstellung \(\phi(x) = 1/\sqrt{2 \pi} \exp(-x^2/2)\) und kann auch mit einem einfachen wissenschaftlichen Taschenrechner ausgewertet werden.
• Richtig. Die Eigenschaft der Normalverteilung bleibt bei Standardisierung erhalten.

b

Welche der folgenden Aussagen zur Binomialverteilung sind richtig?

Für große Anzahl von Wiederholungen \(n\) kann die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximiert werden.Die Binomialverteilung ergibt sich, wenn ein Zufallsvorgang mit zwei möglichen Ausgängen so oft wiederholt wird bis \(n\) Erfolge beobachtet wurden.Bei der Binomialverteilung nimmt die Erfolgswahrscheinlichkeit mit jedem bereits beobachteten Erfolg weiter zu.Je größer die Erfolgswahrscheinlichkeit in der Binomialverteilung ist, desto größer ist auch die Varianz.In einem Bernoulli-Experiment wird ein Zufallsvorgang mit zwei möglichen Ausgängen \(n\) mal unabhängig voneinander unter gleichen Bedingungen wiederholt.

Details zur Binomialverteilung werden auf den VO-Folien zu Thema 7 im Abschnitt Binomialverteilung vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 5.5.

• Richtig. Da binomialverteilte Zufallsvariable als Summe von unabhängigen Zufallsvariablen aufgefasst werden können, sind sie aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes approximativ normalverteilt.
• Falsch. Es sind immer \(n\) Wiederholungen, in denen die Anzahl Erfolge gezählt werden.
• Falsch. Die Erfolgswahrscheinlichkeit bleibt über alle Versuche konstant, weil diese unabhängig voneinander sind.
• Falsch. Die Varianz ist gegeben durch \(V(X)=n \cdot p \cdot (1-p)\), welche für \(p = 0.5\) maximal wird.
• Richtig. Die Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl Erfolge von \(0, \dots, n\) in solchen Bernoulli-Experimenten an.

c

Die Betriebsdauer eines Gerätes bis zum 1. Ausfall (in Monaten) ist normalverteilt mit \(\mu = 30.67\) und \(\sigma^{2} = 265.04\). Ein Händler garantiert, das Gerät zu ersetzen, wenn es innerhalb der ersten \(12\) Monate ausfällt.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für einen Garantiefall? (in Prozent)

Wie viele Garantiefälle sind bei \(8000\) Geräten zu erwarten?

d

Die jährliche Nachfrage nach einem Produkt ist eine normalverteilte zufällige Größe mit Erwartungswert \(180\) und Varianz \(1681\).

Wie viele Mengeneinheiten müssten produziert werden, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Nachfrage die produzierte Menge übersteigt, höchstens \(3\) Prozent beträgt?

In welchem symmetrischen Intervall um den Erwartungswert liegt die Nachfrage mit einer Wahrscheinlichkeit von \(62\%\)? Geben Sie die untere Intervallgrenze an.

e

Die Wahrscheinlichkeit eines schweren Unfalls an einer Produktionsmaschine im Laufe eines Jahres betrage \(1:1000\). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (in Prozent), dass beim Betrieb von \(22\) Anlagen innerhalb von \(14\) Jahren

genau ein Unfall passiert?

mindestens \(2\) Unfälle passieren?

mehr als \(2\) Unfälle passieren?

nicht mehr als ein Unfall passiert?