Woche 14

Überblick

Thema	Inhalte	Folien	Video	Buch	Training
7	Normalverteilung	119-146	7t-v	5.4	5.4
	Binomialverteilung	147-160	7w-x	5.5	5.5
					Quiz

Normalverteilung

7t

7u

7v

Binomialverteilung

7w

7x

Quiz

a

Welche der folgenden Aussagen zur Normalverteilung sind richtig?

Wenn \(X\) normalverteilt ist mit Mittelwert \(\mu\) und Varianz \(\sigma^2\), dann ist \(Z = (X - \mu)/\sigma\) standardnormalverteilt.Wegen der Symmetrie der Normalverteilung gilt \(\Phi(z) = - \Phi(-z)\).Der Median einer normalverteilten Zufallsvariablen ist immer gleich dem Erwartungswert.Für das \(\alpha\)-Quantil \(N_\alpha\) der Standardnormalverteilung gilt \(\Phi(N_\alpha) = \alpha\).Die Dichtefunktion \(\phi(x)\) der Standardnormalverteilung hat keine einfache Darstellung, weshalb für die Berechnung Computerprogramme oder Tabellen verwendet werden.

Details zur Normalverteilung werden auf den VO-Folien zu Thema 7 im Abschnitt Normalverteilung vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 5.4.

• Richtig. Die Eigenschaft der Normalverteilung bleibt bei Standardisierung erhalten.
• Falsch. Wegen der Symmetrie gilt \(\phi(z) = \phi(-z)\) sowie \(\Phi(z) = 1 - \Phi(-z)\).
• Richtig. Die Normalverteilung ist symmetrisch, deshalb stimmen Median und Erwartungswert immer überein.
• Richtig. Das \(\alpha\)-Quantil ist jener Wert \(N_\alpha\), den die Zufallsgröße mit Wahrscheinlichkeit \(\alpha\) nicht überschreitet. Es gilt also \(\alpha = P(Z \le N_\alpha) = \Phi(N_\alpha)\).
• Falsch. Die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung hat die Darstellung \(\phi(x) = 1/\sqrt{2 \pi} \exp(-x^2/2)\) und kann auch mit einem einfachen wissenschaftlichen Taschenrechner ausgewertet werden.

b

Welche der folgenden Aussagen zur Binomialverteilung sind richtig?

Die Binomialverteilung ergibt sich, wenn ein Zufallsvorgang mit zwei möglichen Ausgängen so oft wiederholt wird bis \(n\) Erfolge beobachtet wurden.Der Binomialkoeffizient \({n \choose k}\) gibt an, wie viele Erfolge \(n\) in \(k\) Binomialexperimenten möglich sind.Bei der Binomialverteilung nimmt die Erfolgswahrscheinlichkeit mit jedem bereits beobachteten Erfolg weiter zu.Je größer die Erfolgswahrscheinlichkeit in der Binomialverteilung ist, desto größer ist auch die Varianz.In einem Bernoulli-Experiment wird ein Zufallsvorgang mit zwei möglichen Ausgängen \(n\) mal unabhängig voneinander unter gleichen Bedingungen wiederholt.

Details zur Binomialverteilung werden auf den VO-Folien zu Thema 7 im Abschnitt Binomialverteilung vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 5.5.

• Falsch. Es sind immer \(n\) Wiederholungen, in denen die Anzahl Erfolge gezählt werden.
• Falsch. Der Binomialkoeffizient an, wie viele Möglichkeiten es gibt, \(k\) Erfolge auf \(n\) Versuche zu verteilen.
• Falsch. Die Erfolgswahrscheinlichkeit bleibt über alle Versuche konstant, weil diese unabhängig voneinander sind.
• Falsch. Die Varianz ist gegeben durch \(V(X)=n \cdot p \cdot (1-p)\), welche für \(p = 0.5\) maximal wird.
• Richtig. Die Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl Erfolge von \(0, \dots, n\) in solchen Bernoulli-Experimenten an.

c

Die Betriebsdauer eines Gerätes bis zum 1. Ausfall (in Monaten) ist normalverteilt mit \(\mu = 31.56\) und \(\sigma = 14.63\). Ein Händler garantiert, das Gerät zu ersetzen, wenn es innerhalb der ersten \(6\) Monate ausfällt.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für einen Garantiefall? (in Prozent)

Wie viele Garantiefälle sind bei \(6000\) Geräten zu erwarten?

d

Die jährliche Nachfrage nach einem Produkt ist eine normalverteilte zufällige Größe mit Erwartungswert \(280\) und Varianz \(1600\).

Wie viele Mengeneinheiten müssten produziert werden, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Nachfrage die produzierte Menge unterschreitet, höchstens \(5\) Prozent beträgt?

In welchem symmetrischen Intervall um den Erwartungswert liegt die Nachfrage mit einer Wahrscheinlichkeit von \(62\%\)? Geben Sie die obere Intervallgrenze an.

e

Die Wahrscheinlichkeit eines schweren Unfalls an einer Produktionsmaschine im Laufe eines Jahres betrage \(1:2000\). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (in Prozent), dass beim Betrieb von \(32\) Anlagen innerhalb von \(14\) Jahren

genau \(2\) Unfälle passieren?

mindestens ein Unfall passiert?

mehr als ein Unfall passiert?

nicht mehr als ein Unfall passiert?