5 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Baustelle

Die interaktiven Trainingsaufgaben befinden sich noch im Aufbau. Im Laufe des Studienjahrs 2023/24 werden begleitend zu den Kursen an der Universität Innsbruck noch viele weitere Aufgaben ergänzt werden.

Grundbegriffe

Ein \(6\)-seitiger, fairer Würfel mit den Augenzahlen \(1, 2, 3, 4, 5, 6\) wird zweimal geworfen.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einer Augensumme von \(5\)? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

Es handelt sich hier um Laplace-Wahrscheinlichkeiten, d.h., alle Augenzahlen haben die gleiche Wahrscheinlichkeit. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit errechnet sich daher als Quotient günstige Fälle dividiert durch mögliche Fälle.

Wir können die Augensumme beim zweimaligen Würfeln in Matrixform abbilden.

1 2 3 4 5 6
1 \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\)
2 \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\) \(8\)
3 \(4\) \(5\) \(6\) \(7\) \(8\) \(9\)
4 \(5\) \(6\) \(7\) \(8\) \(9\) \(10\)
5 \(6\) \(7\) \(8\) \(9\) \(10\) \(11\)
6 \(7\) \(8\) \(9\) \(10\) \(11\) \(12\)

Es kommen also \(4\) günstige auf \(36\) mögliche Fälle. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt daher \[\begin{aligned} P(\mbox{Augensumme ist 5}) = \frac{4}{36} = 0.111111. \end{aligned}\] Die Wahrscheinlichkeit beträgt also \(11.11\%\).

Man betrachte zwei vierseitige Würfel. Der erste Würfel A hat die Ziffern \(1, 5, 9, 10\) aufgedruckt, der zweite Würfel B hat die Ziffern \(2, 2, 2, 10\) aufgedruckt.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt A, wenn beide Würfel einmal geworfen werden und die höhere Augenzahl gewinnt? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

Am einfachsten wird das Würfeln der beiden Würfel in Matrixform dargestellt. Die Matrix zeigt, ob A mit dieser Augenkombination gewinnt:

2 2 2 10
1 nein nein nein nein
5 ja ja ja nein
9 ja ja ja nein
10 ja ja ja nein

Es kommen also \(9\) günstige auf \(16\) mögliche Fälle. Die Wahrscheinlichkeit, dass A gewinnt beträgt also \[\begin{aligned} P(\mbox{W\"urfel A gewinnt}) = \frac{9}{16} = 0.5625. \end{aligned}\] Die Wahrscheinlichkeit beträgt also \(56.25\%\).

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Ein Basketballspieler erhält zwei Freiwürfe. Aus langer Beobachtung weiß er, dass er mit \(85\%\) Wahrscheinlichkeit beim ersten Wurf trifft. Die gleiche Trefferquote gilt auch für den zweiten Wurf. Die Wahrscheinlichkeit für zwei Treffer unmittelbar hintereinander liegt bei \(77.35\%\).

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler beim zweiten Wurf trifft, wenn er beim ersten Wurf getroffen hat? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

Bezeichne \(A\) das Ereignis Treffer im ersten Wurf und \(B\) das Ereignis Treffer im zweiten Wurf. Dann ist \(P(A) = P(B) = 0.85\) und \(P(A \cap B) = 0.7735\). Damit läßt sich die Vierfeldertafel aufstellen:

\(~B~\) \(~\overline{B}~\)
\(~A~\) \(~0.7735~\) \(~0.0765~\) \(~0.85~\)
\(~\overline{A}~\) \(~0.0765~\) \(~0.0735~\) \(~0.15~\)
\(~0.85~\) \(~0.15~\) \(~1~\)

Gefragt ist nach \[\begin{aligned} P({B} | {A}) = \frac{P({A} \cap {B})}{P({A})} = \frac{0.7735}{0.85} = 0.91 \end{aligned}\] Die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler beim zweiten Wurf trifft, wenn er beim ersten Wurf getroffen hat, beträgt somit \(91.00 \%\).

Eine Studierende beschließt, sich bei zwei verschiedenen Unternehmen für ein Praktikum zu bewerben. Sie hat ein wenig recherchiert und geht davon aus, dass Unternehmen A ihr mit einer Wahrscheinlichkeit von \(54\%\) einen Praktikumsplatz anbietet. Unabhängig davon wird Unternehmen B ihr mit einer Wahrscheinlichkeit von \(47\%\) einen Praktikumsplatz anbieten.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Studierende mindestens einen Praktikumsplatz erhält? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

Sei das Ereignis \(A\) Jobangebot von Unternehmen A und \(B\) Jobangebot von Unternehmen B. Die zwei Ereignisse sind voneinander unabhängig, wenn gilt: \[\begin{aligned} P(A) = P(A|B) \Longleftrightarrow P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \end{aligned}\] Gefragt ist nach \[\begin{aligned} P(\textrm{mindestens einen Praktikumsplatz}) & = & 1 - P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) \\ & = & 1 - (1 - P(A)) \cdot (1 - P(B)) \\ & = & 1 - (1 - 0.54) \cdot (1 - 0.47) \\ & = & 0.7562 \end{aligned}\] Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sie mindestens einen Praktikumsplatz erhält, \(75.62\%\).

Erwartungswert und Varianz

Die Zufallsvariable \(X\) hat eine stückweise konstante Dichtefunktion \(f\).

Diese ist nachfolgend gegeben durch ihren Graphen.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit \(P(549 < X < 649)\). (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

Die Wahrscheinlichkeit \(P(549 < X < 649)\) entspricht der in der folgenden Grafik eingezeichneten Fläche unter der Dichtefunktion \(f\).

Somit ergibt sich \(P(549 < X < 649) = 0.33 \approx 33.00\%\).

Die Fahrzeit in Minuten zur Uni sei exponentialverteilt mit durchschnittlicher Fahrzeit \(\mu = 16\) Minuten. Die Verteilungsfunktion \(F(x)\) ist gegeben durch \[F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & x < 0 \\ 1 - \exp \left(-\frac{1}{\mu}x \right) & x \geq 0 \\ \end{array} \right.\]

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit (in Prozent) für eine Fahrzeit zwischen \(14\) und \(38\) Minuten.

\[\begin{aligned} P(\mbox{Fahrzeit zw. 14 u. 38 Min.}) &=& P(14 \leq X \leq 38) \\ &=& P(X \leq 38) - P(X \leq 14) \\ &=& F(38) - F(14) \\ &=& \left [ 1 - \exp \left ( - \frac{1}{16} 38 \right ) \right ] - \left [ 1 - \mbox{exp} \left ( - \frac{1}{16} 14 \right ) \right ] \\ &=& 0.323848 \end{aligned}\]

Die Wahrscheinlichkeit beträgt somit \(32.38\%\).

Gegeben ist folgende stückweise konstante Dichtefunktion der Zufallsvariablen \(X\): \[\begin{aligned} f(x) = \left\{\begin{array}{lcl} 0.07 & & 14 \leq x < 18\\0.01 & \mbox{f\"ur} & 18 \leq x < 22 \\ 0.17 && 22 \leq x \leq 26 \\ 0 && \mathrm{sonst.} \end{array}\right. \end{aligned}\] Berechnen Sie den Erwartungswert \(E(X)\).

Der Erwartungswert einer stückweise konstanten Dichtefunktion ist das gewichtete Mittel der jeweiligen Intervallmitten mit den Wahrscheinlichkeiten im Intervall: \[\begin{aligned} E(X) &=& 0.07 \cdot (18 - 14) \cdot \frac{14 + 18}{2} + \ldots + 0.17 \cdot (26 - 22) \cdot \frac{22 + 26}{2} \\ &=& 0.28 \cdot 16 + 0.04 \cdot 20 + 0.68 \cdot 24 \\ &=& 21.6 \end{aligned}\]

Ein Teilnehmer einer Spielshow im Fernsehen hat die Wahl zwischen zwei Möglichkeiten: Einstreichen eines sicheren Gewinns von \(310\) Euro oder Teilnahme an einem Glücksspiel. Der Gewinn des Glücksspiels wird durch die Zufallsvariable \(G\) beschrieben. Diese hat folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion:

\(g\) \(190\) \(210\) \(250\) \(280\) \(380\)
\(P(G = g)\) \(0.14\) \(0.17\) \(0.28\) \(0.21\) \(0.20\)

Nach der Erwartungsnutzentheorie entscheidet sich der Teilnehmer so zwischen den beiden Möglichkeiten, dass der erwartete Nutzen maximiert wird. Berechnen Sie den erwarteten Nutzen, den der Teilnehmer nach seiner Entscheidung erzielt, wenn die Nutzenfunktion \(U(g) = \sqrt g\) vorliegt.

Die Nutzenfunktion \(U(G)\) ist eine nichtlineare Transformation der diskreten Zufallsvariable \(G\) mit möglichen Werten \(g_1, \ldots , g_k\). Der erwartete Nutzen des Glücksspiels ist daher gegeben durch \[\begin{aligned} E(U(G)) & = & U(g_1) \cdot P(G = g_1) + \ldots + U(g_k) \cdot P(G = g_k) \\ & = & \sqrt{190} \cdot P(G = 190) + \sqrt{210} \cdot P(G = 210) + \sqrt{250} \cdot P(G = 250)\\ && + \sqrt{280} \cdot P(G = 280) + \sqrt{380} \cdot P(G = 380)\\ & = & 13.7840 \cdot 0.14 + 14.4914 \cdot 0.17 + 15.8114 \cdot 0.28 + 16.7332 \cdot 0.21 + 19.4936 \cdot 0.20\\ & = & 16.2332. \end{aligned}\] Der erwartete Nutzen des Glücksspiels beträgt somit \(16.23\).

Der (erwartete) Nutzen des sicheren Gewinns beträgt \(\sqrt{ 310 } = 17.61\).

Da der erwartete Nutzen des Glücksspiels mit \(16.23\) kleiner ist als der Nutzen des sicheren Gewinns, entscheidet sich der Teilnehmer für den sicheren Gewinn und erzielt damit einen erwarteten Nutzen von \(17.61\).

Ein Maschinenbauunternehmen stellt Großanlagen eines bestimmten Typs her. Die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass im nächsten Geschäftsjahr bestimmte Anzahlen von Anlagen abgesetzt werden können, haben folgende Werte:

Anlagenzahl \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\)
Wahrscheinlichkeit \(0.24\) \(0.26\) \(0.04\) \(0.3\) \(0.16\)

Die Kosten des Unternehmens belaufen sich auf Fixkosten von \(87\) GE und variable Kosten von \(39\) GE je gebauter Anlage. Der Erlös pro abgesetzter Anlage beträgt \(180\) GE.

Berechnen Sie die Varianz des Gewinns (bzw. Verlusts) für das kommende Geschäftsjahr.

Der Gewinn (bzw. Verlust) \(G\) ergibt sich aus dem Deckungsbeitrag, der Anzahl verkaufter Anlagen \(A\) und den Fixkosten: \(G = (180 - 39) \cdot A - 87\).

Für die Ermittlung der Varianz des Gewinns benötigt man also Erwartungswert und Varianz für die Anzahl Anlagen: \[\begin{aligned} E(A) & = & 0 \cdot 0.24 + 1 \cdot 0.26 + 2 \cdot 0.04 + 3 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.16\\ & = & 1.88 \\ V(A) & = & \left(0^2 \cdot 0.24 + 1^2 \cdot 0.26 + 2^2 \cdot 0.04 + 3^2 \cdot 0.3 + 4^2 \cdot 0.16\right) - 1.88^2 \\ & = & 2.1456 \\ V(G) & = & V((180 - 39) \cdot A - 87) \\ & = & (180 - 39)^2 \cdot V(A) \\ & = & 42656.6736 % \\ % \sigma(G) & = & \sqrt{V(G)} = \sqrt{42656.6736} \\ % & \approx & 42656.67 \ \end{aligned}\] Die Varianz des Gewinns (bzw. Verlusts) beträgt also \(42656.67\).

Normalverteilung

Die Zufallsgröße \(Z\) ist standardnormalverteilt. Berechnen Sie \(P(Z^2 \le 0.49)\). (Geben Sie das Ergebnis auf drei Nachkommastellen genau an.)

Umformen und aus der Normalverteilungstabelle ablesen: \[\begin{aligned} P(Z^2 \le 0.49) & = & P(|Z| \le 0.70) \\ & = & P(-0.70 \le Z \le 0.70) \\ & = & P(Z \le 0.70) - P(Z < -0.70) \\ & = & 0.758 - 0.242 \\ & = & 0.516 \end{aligned}\]

Die Rendite eines Wertpapiers \(X\) ist normalverteilt mit Mittelwert \(\mu = 0.16\) und Varianz \(\sigma^{2} = 0.13\). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Rendite nicht größer als \(0.7\) wird? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

Wenn \(X\) normalverteilt mit Mittelwert \(\mu = 0.16\) und Varianz \(\sigma^{2} = 0.13\) ist, dann ist

\[\begin{aligned} Z = \frac{X - 0.16}{\sqrt{ 0.13 }} \end{aligned}\]

die zugehörige standardisierte Zufallsgröße, d.h. \(Z\) ist standardnormalverteilt.

Die Wahrscheinlichkeit \(P(X \leq 0.7 )\) berechnen wir, indem wir auf beiden Seiten der Ungleichung standardisieren und dann die Wahrscheinlichkeit für die standardisierte normalverteilte Größe ermitteln.

Die exakte Berechnung der Wahrscheinlichkeit ergibt folgendes Ergebnis:

\[\begin{aligned} P(X \leq 0.7) = P \left( \frac{X - 0.16}{\sqrt{ 0.13 }} \leq \frac{0.7 - 0.16}{\sqrt{ 0.13 }}\right) = P \left(Z \leq 1.497691 \right) = 0.932893. \end{aligned}\]

Wird hingegen die Normalverteilungstabelle zur Lösung der Aufgabe verwendet, dann erhält man:

\[\begin{aligned} P \left(Z \leq 1.50 \right) = 0.933. \end{aligned}\]

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Rendite nicht größer als \(0.7\) wird, beträgt somit \(93.29\)% (exakte Berechnung) bzw. \(93.30\)% (Berechnung anhand der Normalverteilungstabelle).

Der Benzinverbrauch eines PKW-Modells (in Liter pro \(100\) km) ist normalverteilt mit Mittelwert \(\mu = 5.37\) und Varianz \(\sigma^{2} = 4.67\). Welcher Verbrauch wird von \(6\) Prozent der PKW nicht überschritten?

(Geben Sie das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen genau an.)

Wenn der Benzinverbrauch \(X\) normalverteilt mit Mittelwert \(\mu = 5.37\) und Varianz \(\sigma^{2} = 4.67\) ist, dann ist \[Z = \frac{X - 5.37}{\sqrt{ 4.67 }}\] die zugehörige standardisierte Zufallsgröße, d.h. \(Z\) ist standardnormalverteilt.

\[0.06 = P(X \leq x) = P\left(\frac{X- 5.37}{\sqrt{ 4.67 }} \leq \frac{x - 5.37}{\sqrt{ 4.67 }}\right) = P\left(Z \leq \frac{x - 5.37}{\sqrt{ 4.67 }}\right)\] \[P \left( Z \leq \frac{x - 5.37}{\sqrt{ 4.67 }}\right) = 0.06\] Die Größe auf der rechten Seite der Ungleichung muss also das \(0.06\)-Quantil \(N_{0.06}\) von der standardnormalverteilten Größe \(Z\) sein.
Die exakte Berechnung des Quantils ergibt folgendes Ergebnis: \[\begin{aligned} \frac{x - 5.37}{\sqrt{ 4.67 }} & = & -1.554774 \\ x & = & 5.37 -1.554774 \cdot \sqrt{ 4.67 } \\ & = & 2.010106 \approx 2.01 \end{aligned}\] Wird hingegen die Tabelle Quantile der Standardnormalverteilung zur Lösung der Aufgabe verwendet, dann erhält man: \[\begin{aligned} \frac{x - 5.37}{\sqrt{ 4.67 }} & = & -1.5548 \\ x & = & 5.37 -1.5548 \cdot \sqrt{ 4.67 } \\ & = & 2.01 \approx 2.01 \end{aligned}\] Das \(0.06\)-Quantil von \(X\) beträgt somit \(2.01\) (exakte Berechnung) bzw. \(2.01\) (Berechnung anhand der Tabelle Quantile der Standardnormalverteilung).

Binomialverteilung

Die Wahrscheinlichkeit eines schweren Unfalls betrage bei einem technischen Verfahren \({1:900}\) im Laufe eines Jahres. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Betrieb von \(24\) Anlagen im Laufe von \(14\) Jahren der Unfall weniger als einmal auftritt? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

Das Ereignis \(A\) = Auftreten eines schweren Unfalls hat die Wahrscheinlichkeit \[\begin{aligned} P(A) = \frac{1}{900} = 0.00111111. \end{aligned}\] Das Gegenereignis \(\overline{A}\) = kein Auftreten eines schweren Unfalls hat somit die Wahrscheinlichkeit \[\begin{aligned} P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{900} = 0.99888889. \end{aligned}\]

Die Zufallsvariable \(X\) = Anzahl schwerer Unfälle ist dann binomialverteilt mit Wahrscheinlichkeit \(P(A) = 1/900\) und \(n = 24 \cdot 14 = 336\) Versuchen, d.h., \(X \sim B(336, 1/900)\).

In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass weniger als ein Unfall auftritt. Dies ist die Wahrscheinlichkeit \(P(X < 1)\) .
Es gilt: \[\begin{aligned} P(X < 1) &=& P(X = 0) \\ &=& {336 \choose 0} \cdot 0.001111^{0} \cdot 0.998889^{336} \\ &=& 0.688293 \end{aligned}\]

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Unfall im Laufe von \(14\) Jahren weniger als einmal auftritt liegt bei \(68.83\)%.

Eine Serienproduktion von Glühbirnen hat einen Ausschussanteil von \(8\%\). Aus der laufenden Produktion wird eine Stichprobe vom Umfang \(68\) entnommen.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält diese Stichprobe \(3\) oder mehr defekte Glühbirnen? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

Das Ereignis \(A =\) gefertigte Glühbirne ist defekt hat die Wahrscheinlichkeit \[\begin{aligned} P(A) = 0.08. \end{aligned}\] Das Gegenereignis \(\overline{A} =\) gefertigte Glühbirne funktioniert hat somit die Wahrscheinlichkeit \[\begin{aligned} P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.08 = 0.92. \end{aligned}\]

Die Zufallsvariable \(X =\) Anzahl defekter Glübirnen ist dann binomialverteilt mit Wahrscheinlichkeit \(P(A) = 0.08\) und \(n = 68\) Versuchen, d.h., \(X \sim B(68, 0.08)\).

In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass \(3\) oder mehr Glübirnen defekt sind. Dies ist die Wahrscheinlichkeit \(P(X \geq 3)\) \[\begin{aligned} P(X \geq 3) &=& 1 - P(X \leq 2) = 1 - \sum_{k = 0}^{2} P(X = k) \\ &=& 1 - \left({68 \choose 0} 0.08^0 (1 - 0.08)^{68 - 0} + \ldots + {68 \choose 2} 0.08^{{2}} (1 - 0.08)^{68 - 2}\right) \\ &=& 1 - 0.08322877 \\ &\approx& 0.9168. \end{aligned}\] Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Stichprobe von \(68\) Glühbirnen \(3\) oder mehr Stück Ausschuss enthält, beträgt \(91.68\%\).