Woche 8

Überblick

Thema Inhalte Folien Video Buch Training
5 Bedarfsmatrizen 49-60 5g-h 7.3 7.3
Inverse Matrizen 61-83 5i-k 7.4 7.4/ 7.4.3
Lineare Gleichungssysteme 84-106 5l-n 6.2/6.3 6.2/6.3
Quiz
PS-Übungsaufgabe

Bedarfsmatrizen

Inverse Matrizen

Lineare Gleichungssysteme

Quiz

Welche der folgenden Aussagen bzgl. linearer Gleichungssysteme \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{x} = \mathbf{b}\) sind richtig?

Details zu linearen Gleichungssystemen werden auf den VO-Folien zu Thema 5 im Abschnitt Lineare Gleichungssysteme vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 6.2.

  • Falsch. Nur wenn \(\mathrm{det} \mathbf{A} = 0\) ist, dann ist das Gleichungssystem unlösbar.
  • Richtig. Bei eindeutiger Lösbarkeit ist \(\mathrm{det} \mathbf{A} \neq 0\) und dann existiert \(\mathbf{A}^{-1}\).
  • Falsch. Es gibt eine Reihe von Lösungsverfahren (bspw. Elimination oder Cholesky), die ohne explizite Berechnung von \(\mathbf{A}^{-1}\) auskommen.
  • Richtig. Ein Vielfaches einer Gleichung zu einer anderen zu addieren ist einer der erlaubten Vereinfachungsschritte.
  • Falsch. Aus der Symmetrie von A allein lassen sich kein Rückschlüsse über die Lösbarkeit ableiten.

Gegeben sei die Matrixgleichung \(\mathbf{A}\mathbf{X}\mathbf{A}^{-1} + \mathbf{A} = \mathbf{I}\) mit der Matrix

\[\begin{aligned} \mathbf{A} = \left( \begin{array}{rr} -10 & 2 \\ -5 & 4 \end{array} \right) \end{aligned}\]

Bestimmen Sie die Matrix \(\mathbf{X}\). Welchen Wert hat \(\det\mathbf{X}\)?

In einem Unternehmen werden aus Bauteilen \(A_1\) und \(A_2\) zwei verschiedene Baugruppen \(B_1\) und \(B_2\) gefertigt. Die Stückkosten für \(B_1\) und \(B_2\) belaufen sich auf \(2\) GE bzw. \(5\) GE. Folgender Tabelle sind der Mengenbedarf an Bauteilen für die einzelnen Baugruppen und die jeweils eingelagerte Menge an \(A_1\) bzw. \(A_2\) zu entnehmen.

Bauteil \(B_1\) \(B_2\) Lagerbestand
\(A_1\) \(19\) \(15\) \(82904\)
\(A_2\) \(29\) \(46\) \(172702\)
Stückkosten \(2\) \(5\)

In einem weiteren Verarbeitungsschritt werden die Baugruppen \(B_1\) und \(B_2\) zu Geräten \(E_1\), \(E_2\) und \(E_3\) montiert. Über den Mengenbedarf in dieser zweiten Produktionsstufe ist folgendes bekannt:

\(E_1\) \(E_2\) \(E_3\)
\(B_1\) \(27\) \(44\) \(36\)
\(B_2\) \(48\) \(5\) \(31\)

Ein Lieferauftrag erfordert die Herstellung von \(46\) Stück \(E_1\), \(36\) Stück \(E_2\) und \(26\) Stück \(E_3\). Eine kurze Rechnung überzeugt den Produktionsleiter, dass dieser Auftrag mit den vorhandenen Lagerbeständen nicht durchgeführt werden kann. Als kurzfristiger Ausweg bietet sich lediglich die Möglichkeit, fertige Baugruppen von einem Konkurrenzunternehmen zuzukaufen. Dieses verrechnet allerdings höhere Stückkosten von \(13\) GE für \(B_1\) und \(41\) GE für \(B_2\).

Berechnen Sie die benötigte Zukaufsmenge, wenn der vorhandene Lagerbestand zur Gänze verbraucht und nur die notwendige Anzahl an Baugruppen zugekauft wird.

\(B_1\)   
\(B_2\)   

Welche Mehrkosten ergeben sich dadurch?   

PS-Übungsaufgabe

Elina lädt ihre Freunde zu einem Cocktailabend ein. Sie hat Zutaten für drei Drinks besorgt: Wodka Sunrise, Screwdriver und Pinkie. Dabei werden für die Zubereitung der verschiedenen Drinks unterschiedliche Einheiten an Wodka, Orangensaft und Grenadine benötigt.

Pro Sunrise werden \(115\) Einheiten Wodka, \(230\) Einheiten Orangensaft und \(8\) Einheiten Grenadine benötigt. Ein Screwdriver setzt sich aus \(45\) Einheiten Wodka, \(95\) Einheiten Orangensaft und \(0\) Einheiten Grenadine zusammen. Ein Pinkie verbraucht \(40\) Einheiten Wodka, \(0\) Einheiten Orangensaft und \(5\) Einheiten Grenadine.

Stellen Sie anhand der Informationen aus der Angabe die Bedarfsmatix auf:

Sunrise Screwdriver Pinkie
Wodka
Orangensaft
Grenadine

Beim Aufräumen am nächsten Morgen stellt Elina fest, dass \(1260\) Einheiten Wodka, \(2005\) Einheiten Orangensaft und \(75\) Einheiten Grenadine verbraucht wurden.

Berechnen Sie wie viele der verschiedenen Drinks getrunken wurden.

Sunrise:

Screwdriver:

Pinkie: