Woche 8

Überblick

Thema	Inhalte	Folien	Video	Buch	Training
5	Bedarfsmatrizen	49-60	5g-h	7.3	7.3
	Inverse Matrizen	61-83	5i-k	7.4	7.4/ 7.4.3
	Lineare Gleichungssysteme	84-106	5l-n	6.2/6.3	6.2/6.3
					Quiz

Bedarfsmatrizen

Inverse Matrizen

Lineare Gleichungssysteme

Quiz

Welche der folgenden Aussagen bzgl. linearer Gleichungssysteme \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{x} = \mathbf{b}\) sind richtig?

Wenn \(\mathrm{det} \mathbf{A} < 0\), dann ist das Gleichungssystem unlösbar.Wenn das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, existiert die Inverse \(\mathbf{A}^{-1}\).Um die Lösung des Gleichungssystems zu bestimmen, muss die Inverse \(\mathbf{A}^{-1}\) berechnet werden.Beim Eliminationsverfahren darf ein Vielfaches einer Gleichung zu einer anderen addiert werden.Wenn \(\mathbf{A}\) symmetrisch ist, dann das Gleichungssystem unlösbar.

Details zu linearen Gleichungssystemen werden auf den VO-Folien zu Thema 5 im Abschnitt Lineare Gleichungssysteme vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 6.2.

Falsch. Nur wenn \(\mathrm{det} \mathbf{A} = 0\) ist, dann ist das Gleichungssystem unlösbar.
Richtig. Bei eindeutiger Lösbarkeit ist \(\mathrm{det} \mathbf{A} \neq 0\) und dann existiert \(\mathbf{A}^{-1}\).
Falsch. Es gibt eine Reihe von Lösungsverfahren (bspw. Elimination oder Cholesky), die ohne explizite Berechnung von \(\mathbf{A}^{-1}\) auskommen.
Richtig. Ein Vielfaches einer Gleichung zu einer anderen zu addieren ist einer der erlaubten Vereinfachungsschritte.
Falsch. Aus der Symmetrie von A allein lassen sich kein Rückschlüsse über die Lösbarkeit ableiten.

Gegeben sei die Matrixgleichung \(\mathbf{A}\mathbf{X}\mathbf{A}^{-1} + \mathbf{A} = \mathbf{I}\) mit der Matrix

\[\begin{aligned} \mathbf{A} = \left( \begin{array}{rr} 3 & 1 \\ -9 & 7 \end{array} \right) \end{aligned}\]

Bestimmen Sie die Matrix \(\mathbf{X}\). Welchen Wert hat \(\det\mathbf{X}\)?

In einem Unternehmen werden aus Bauteilen \(A_1\) und \(A_2\) zwei verschiedene Baugruppen \(B_1\) und \(B_2\) gefertigt. Die Stückkosten für \(B_1\) und \(B_2\) belaufen sich auf \(20\) GE bzw. \(20\) GE. Folgender Tabelle sind der Mengenbedarf an Bauteilen für die einzelnen Baugruppen und die jeweils eingelagerte Menge an \(A_1\) bzw. \(A_2\) zu entnehmen.

Bauteil	\(B_1\)	\(B_2\)	Lagerbestand
\(A_1\)	\(28\)	\(48\)	\(134812\)
\(A_2\)	\(24\)	\(20\)	\(93480\)
Stückkosten	\(20\)	\(20\)

In einem weiteren Verarbeitungsschritt werden die Baugruppen \(B_1\) und \(B_2\) zu Geräten \(E_1\), \(E_2\) und \(E_3\) montiert. Über den Mengenbedarf in dieser zweiten Produktionsstufe ist folgendes bekannt:

	\(E_1\)	\(E_2\)	\(E_3\)
\(B_1\)	\(26\)	\(32\)	\(21\)
\(B_2\)	\(1\)	\(11\)	\(35\)

Ein Lieferauftrag erfordert die Herstellung von \(43\) Stück \(E_1\), \(48\) Stück \(E_2\) und \(19\) Stück \(E_3\). Eine kurze Rechnung überzeugt den Produktionsleiter, dass dieser Auftrag mit den vorhandenen Lagerbeständen nicht durchgeführt werden kann. Als kurzfristiger Ausweg bietet sich lediglich die Möglichkeit, fertige Baugruppen von einem Konkurrenzunternehmen zuzukaufen. Dieses verrechnet allerdings höhere Stückkosten von \(42\) GE für \(B_1\) und \(42\) GE für \(B_2\).

Berechnen Sie die benötigte Zukaufsmenge, wenn der vorhandene Lagerbestand zur Gänze verbraucht und nur die notwendige Anzahl an Baugruppen zugekauft wird.

\(B_1\)
\(B_2\)

Welche Mehrkosten ergeben sich dadurch?