Woche 5

Überblick

Thema	Inhalte	Folien	Video	Buch	Training
4	Arithmetische Folgen	1-9	4a-b	1.3	1.3
	Geometrische Folgen	10-18	4c	2.3	2.3
	Verzinsung	19-24	4d-e	2.1	2.1
	Laufzeiten	25-28	4f	2.2	2.2
	Unterjährige Verzinsung	29-36	4g-h	2.5	2.5
	Kontinuierliche Verzinsung	37-49	4i-j	2.6.2	2.6.2
					Quiz

Arithmetische Folgen

Geometrische Folgen

Verzinsung

Laufzeiten

Unterjährige Verzinsung

Kontinuierliche Verzinsung

Quiz

Sei \((x_n)\) eine arithmetische Folge mit Zuwächsen \(d\). Welche Aussagen sind richtig?

Die Differenz aufeinanderfolgender Glieder \(x_n - x_{n-1}\) ist \(d\).Das \(n\)-te Folgenglied kann berechnet werden als \(x_n = x_0 + n \cdot d\).Die relativen Differenzen aufeinanderfolgender Glieder können nicht konstant sein, wenn \(d \neq 0\).Der Quotient aufeinanderfolgender Glieder \(x_n/x_{n-1}\) ist \(1 + d\).Die Folgenglieder liegen auf dem Graph einer Exponentialfunktion.

Details zu arithemtischen Folgen werden auf den VO-Folien zu Thema 4 im Abschnitt Arithmetische Folgen vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 1.3.

Richtig. Konstante Differenzen \(\Delta x_n\) sind die definierende Eigenschaft einer arithmetischen Folge.
Richtig. Das Bildungsgesetz einer arithmetischen Folge ist \(x_n = x_0 + n \cdot d\) oder \(x_n = x_1 + (n-1) \cdot d\).
Richtig. Die relativen Differenzen betragen \(\Delta x_n / x_{n-1} = d/x_{n-1}\), was nur für \(d = 0\) konstant ist.
Falsch. Der Quotient ist \(x_n/x_{n-1} = (x_{n-1} + d)/x_{n-1} = 1 + d/x_{n-1}\).
Falsch. Die Folgenglieder einer arithmetischen Folge liegen auf dem Graph einer linearen Funktion mit Steigung \(d\).

Sei \((x_n)\) eine geometrische Folge mit relativer Änderung \(r\). Welche Aussagen sind richtig?

Der Quotient aufeinanderfolgender Glieder \(x_n/x_{n-1}\) ist \(1 + r\).Die Folgenglieder liegen auf dem Graph einer Exponentialfunktion.Die Differenz aufeinanderfolgender Glieder \(x_n - x_{n-1}\) ist \(r\).Das \(n\)-te Folgenglied kann berechnet werden als \(x_n = x_0 + x_0 \cdot r^n\).Die Differenzen aufeinanderfolgender Glieder können nicht konstant sein, wenn \(r \neq 0\).

Details zu arithemtischen Folgen werden auf den VO-Folien zu Thema 4 im Abschnitt Geometrische Folgen vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 2.3.

Richtig. Der Quotient ist \(x_n/x_{n-1} = (x_{n-1} + x_{n-1} \cdot r)/x_{n-1} = 1 + r\).
Richtig. Die Folgenglieder liegen auf dem Graph einer Exponentialfunktion mit relativer Änderung \(r\) bzw. Wachstumsfaktor \(q = 1 + r\).
Falsch. Die Differenzen betragen \(\Delta x_n = x_{n-1} \cdot (1 + r) - x_{n-1} = r \cdot x_{n-1} \neq r\).
Falsch. Das Bildungsgesetz einer arithmetischen Folge ist \(x_n = x_0 \cdot (1 + r)^n\) oder \(x_n = x_1 \cdot (1 + r)^{n-1}\).
Richtig. Die Differenzen betragen \(\Delta x_n = x_{n-1} \cdot (1 + r) - x_{n-1} = r \cdot x_{n-1}\), was nur für \(r = 0\) konstant ist.

Welche Aussagen bzgl. der Endwertformel in der Zinsrechnung \(K_t = K_0 \cdot (1 + r)^t\) sind richtig?

In jeder Verzinsungsperiode erhöht sich das Kapital um eine Konstante.Der Endwert \(K_t\) verhält sich wie eine geometrische Folge.Der Anfangswert \(K_0\) wird auch Barwert genannt.Der Endwert \(K_t\) enthält eine zusammengesetzte Verzinsung (Zinseszinsen).In jeder Verzinsungsperiode erhöht sich das Kapital um einen konstanten Faktor.

Details zur Endwertformel werden auf den VO-Folien zu Thema 4 im Abschnitt Verzinsungsmodelle vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 2.1 und 2.2.

Falsch. Die Erhöhung in jeder Periode beträgt \(\Delta K_t = K_{t-1} \cdot (1 + r) - K_{t-1} = K_{t-1} \cdot r\), was nicht konstant ist sondern sich mit dem Kapital ändert.
Richtig. Eine geometrische Folge hat das Bildungsgesetz \(x_n = x_0 \cdot (1 + r)^n\), was genau der Endwertformel entspricht.
Richtig. Er entspricht dem Kapital, das man zu Beginn der Verzinsung bar zur Verfügung hat bzw. anlegen muss.
Richtig. Mit dem Wachstumsfaktor \(q = 1 + r\) wird \(t\)-mal aufgezinst, auch auf alle bisherigen Aufzinsungen.
Richtig. Der Quotient aufeinanderfolgender Kapitalwerte ist \(K_t / K_{t-1} = 1 + r\), was ein gleichbleibender konstanter Wachstumsfaktor ist.

Welche Aussagen bzgl. Zinsrechnung mit positivem effektiven Zinssatz sind richtig?

Der Wachstumsfaktor bei unterjähriger Verzinsung ist \(1 + k \cdot \frac{c}{k}\).Der effektive Zinssatz kann immer äquivalent in einen nominellen kontinuierlichen Zinssatz umgerechnet werden.Der effektive Zinssatz ist immer höher als der nominelle unterjährige Zinssatz, wenn es mehrere unterjährige Verzinsungszeitpunkte gibt.Bei unterjähriger Verzinsung fallen unter dem Jahr keine Zinseszinsen an.Der nominelle kontinuierliche Zinssatz ist immer größer als der effektive jährliche Zinssatz.

Details zu unterschiedlichen Verzinsungstypen werden auf den VO-Folien zu Thema 4 im Abschnitt Unterjährige Verzinsung und Kontinuierliche Verzinsung vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 2.5 und 2.6.2.

Falsch. Der Wachstumsfaktor bei unterjähriger Verzinsung ist \(\left(1 + \frac{c}{k}\right)^k\).
Richtig. Durch gleichsetzen der Wachstumsfaktoren \(1 + r = \exp(c)\) können die Zinssätze immer äquivalent umgerechnet werden.
Richtig. Durch die unterjährig anfallenden Zinseszinsen ist der effektive Zinssatz immer größer als der nominelle unterjährige Zinssatz.
Falsch. Zu den unterjährigen Verzinsungszeitpunkten fallen bereits Zinseszinsen an.
Falsch. Durch die kontinuierlich anfallenden Zinseszinsen ist der effektive Zinssatz immer größer als der nominelle kontinuierliche Zinssatz.

Von 20:00 \((t = 0)\) bis 04:00 \((t = 8)\) Uhr findet in Innsbruck eine Benefizveranstaltung statt. Zu Beginn werden \(249\) Gäste eingelassen. Jeder Gast muss am Ende jeder vollen Stunde eine Spende abgeben. Diese beträgt konstant \(1.10\) GE. Da der Andrang auf die Benefizveranstaltung sehr groß ist, werden am Anfang jeder vollen Stunde \(11\) weitere Gäste eingelassen. Bis zum Ende verlässt niemand die Veranstaltung. Als vereinfachende Annahme muss die Anzahl an Personen nicht auf ganze Zahlen gerundet werden.

Wie viele GE werden bis 01:18 Uhr gespendet?

Ein Vater legt zum \(9\). Geburtstag seiner Tochter einen Geldbetrag auf ein Sparbuch mit jährlicher Verzinsung, um ihr zu ihrem \(23\). Geburtstag ein Startkapital in Höhe von \(210000\) GE zu sichern. \(6\) Jahre nach der Einzahlung setzt die Bank den Zinssatz auf \(5.50\)% herab und der Vater muss \(10896.35\) GE nachzahlen, um die Endsumme zu sichern.

Welchen Zinssatz hatte die Bank anfangs gewährt? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

Wie hoch war die ursprüngliche Einzahlung auf das Sparbuch?