Woche 4
Überblick
| Thema | Inhalte | Folien | Video | Buch | Training |
|---|---|---|---|---|---|
| 3 | Stammfunktionen | 1-6 | 3a | 4.1 | 4.1 |
| Einfach Integrationsregeln | 7-13 | 3b | 4.2 | 4.2.1 | |
| Anwendungen | 14-22 | 3c-e | 4.3 | 4.3 | |
| Quiz |
Stammfunktionen
Einfach Integrationsregeln
Anwendungen
Quiz
Es sei \(F(x)\) eine differenzierbare Funktion und es sei \(F'(x) = f(x)\). Welche Aussagen sind dann richtig?
- \(F(x) + c\) ist eine Stammfunktion von \(f(x)\).
- \(\int_a^b f(x) \text{d} x = F(b - a)\).
- \(c \cdot F(x)\) ist eine Stammfunktion von \(c \cdot f(x)\).
- \(c \cdot f(x)\) ist eine Ableitung von \(c \cdot F(x)\).
- Für die Berechnung des bestimmten Integrals muss die Stammfunktion \(F(x) + c\) mit \(c = 0\) verwendet werden.
Details zur Integralrechnung werden auf den VO-Folien im Abschnitt Stammfunktionen vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 4.
- Richtig. Die Stammfunktion ist nur bis auf eine additive Konstante \(c\) bestimmt.
- Falsch. \(\int_a^b f(x) \text{d} x = F(b) - F(a)\).
- Richtig. Eine multiplikative Konstante bleibt beim Integrieren erhalten.
- Richtig. Eine multiplikative Konstante bleibt beim Ableiten erhalten.
- Falsch. Bei der Berechnung des bestimmten Integrals spielt die Wahl der Konstante \(c\) keine Rolle.
Aus einem Stück Metall soll eine Form geschnitten werden, die durch die Funktion
\(f(x) = -x^2 + 16.3x\)
zwischen den Punkten \(x_{min} = 3\) und \(x_{max} = 15\) begrenzt wird (\(x\) und \(f(x)\) in \(\text{dm}\)). \(191\) solcher Teile sollen zu einem Preis von \(4~\text{GE}/\text{dm}^2\) von beiden Seiten mit einem Speziallack überzogen werden. Abschließend werden die Metallstücke entlang des Punktes \(x=9\) in zwei Teilstücke geschnitten.
Berechnen Sie die Fläche einer Seite eines gesamten Metallstücks.
Berechnen Sie die Fläche einer Seite des größeren Teilstücks nach dem Teilungsprozess an der Stelle \(x=9\).
Berechnen Sie die Kosten der beidseitigen Lackierung aller \(191\) gesamten Metallstücke.
Die Geschwindigkeit eines Sportautos in \(km/h\) bei der Beschleunigung verläuft nach folgender Gleichung: \[\begin{aligned} f(x) = 0.1\cdot x^3 - 0.6 \cdot x^2 + 3.4 \cdot x + 20 \end{aligned}\] Wobei \(x\) die Zeit in Sekunden seit Beginn der Messung ist (\(x = 0\)).
Wie hoch ist die mittlere Geschwindigkeit zwischen \(0\) und \(12\) Sekunden?