1 Lineare und quadratische Funktionen

Baustelle

Die interaktiven Trainingsaufgaben befinden sich noch im Aufbau. Im Laufe des Wintersemester 2023/24 werden begleitend zum Kurs an der Universität Innsbruck noch viele weitere Aufgaben ergänzt werden.

Lineare Funktionen

a

Ein Hotel mit \(810\) Zimmern macht einen Gewinn von \(890\) GE pro Tag und belegtem Zimmer. Ein unbelegtes Zimmer verursacht einen Verlust von \(560\) GE pro Tag.

Wieviele Zimmer müssen mindestens belegt sein, damit das Hotel ohne Verlust arbeiten kann? (Runden Sie das Endergebnis auf eine ganze Zahl.)

Der Gewinn aus den vermieten Zimmern \(x\) soll dem Verlust aus den unbelegten Zimmern \((810 - x)\) entsprechen.

\[\begin{aligned} 890 \cdot x - (810 - x) \cdot 560 & = & 0\\ x & = & \frac{560 \cdot 810}{890 + 560} = 312.827586 \approx 312.83 \end{aligned}\] Es müssen also mindestens 313 Zimmer belegt sein. (Da nach der Mindestanzahl gefragt ist, muss auf die nächste ganze Zahl aufgerundet werden.)

b

Ein Unternehmen plant die Einführung eines neuen Produkts für das \(6250\) GE Fixkosten veranschlagt sind. Die Produktion einer Einheit verursacht Kosten von \(110\) GE. Bei \(1250\) Stück soll der Break-Even Point erreicht werden. Aufgrund einer Umweltverträglichkeitsprüfung muss die Produktion nach \(780\) Stück abgebrochen werden.

Wie hoch ist der Schaden, der dem Unternehmen dadurch entstanden ist?

Die Kostenfunktion setzt sich zusammen aus variablen Kosten \(k x\) und Fixkosten \(d\) und lautet \(C(x) = k x + d = 110 \cdot x + 6250\). Damit die Menge \(x = 1250\) dem Break-Even-Punkt entspricht, muss für diese Menge \(C(x) = R(x)\) gelten, dh. \[\begin{aligned} C(x) &=& R(x)\\ 110 \cdot 1250 + 6250 &=& p \cdot 1250\\ p &=& 115 \end{aligned}\] Es ergibt sich demnach ein Gleichgewichtspreis in Höhe von \(p = 115\). Wenn der Verkauf jedoch bei Menge \(x = 780\) gestoppt wird, entsteht ein Schaden als \[\begin{aligned} C(780) - R(780) & = & 110 \cdot 780 + 6250 - 115 \cdot 780 = 2350.00. \end{aligned}\] Der entstandene Schaden für das Unternehmen beträgt \(2350.00\) GE.

Quadratische Funktionen

a

Bei einem Monatsbeitrag von \(72\) GE würden \(64\) Kinder im Kindergarten angemeldet werden. Jede Erhöhung des Monatsbeitrags um \(34\) GE führt zum Verlust von \(17\) Kindern.
Wie groß ist die Nachfrage, wenn der Kindergartenplatz gratis ist?

Zur Bestimmung der Erlösfunktion \(R(p)=p \cdot D(p)\) benötigen wir zunächst die allgemeine Nachfragefunktion \(D(p)=\alpha-a p\). Wir gewinnen sie aus einem Gleichungssystem.

\[\begin{aligned} D(72) &=& 64 = \alpha-72\cdot{a}\\ D(106) &=& 47 = \alpha-106\cdot{a} \end{aligned}\]

Nun subtrahieren wir die erste Gleichung von der zweiten

\[\begin{aligned} 64-47&=& (-72\cdot a) -(-106\cdot a)\\ a &=& 0.5 \end{aligned}\]

und setzen \(a=0.5\) in eine der Gleichungen ein und erhalten \(\alpha\).

\[\begin{aligned} 64&=& \alpha-72\cdot{0.5}\\ \alpha&=&100 \end{aligned}\]

Also lautet die Nachfragefunktion: \[\begin{aligned} D(p) &=& -0.5\cdot p + 100 \end{aligned}\]

Wie groß ist die Nachfrage, wenn der Kindergartenplatz gratis ist (\(p = 0\))?

\[\begin{aligned} D(0) &=& -0.5\cdot 0 + 100\\ D(0) &=& 100 \end{aligned}\]

Bei einem Preis von \(0\) GE werden somit \(100.00\) Plätze nachgefragt.

b

Ein Fabrikant kann von einer Ware bei einem Preis von \(74\) GE \(1320\) Stück, bei einem Preis von \(142\) GE aber nur \(770\) Stück absetzen. Dem Fabrikanten entstehen Fixkosten von \(105600\) GE und zusätzlich pro Stück Kosten von \(37\) GE. Berechnen Sie den Gewinn, den der Fabrikant maximal erzielen kann.

Zur Lösung dieser Aufgabe muss zuerst die entsprechende Nachfragefunktion \(Q(p)\) gefunden werden. \(Q\) gibt die absetzbaren Stück in Abhängigkeit vom Preis \(p\) an. Die Nachfrage ist linear und hat die Form: \[\begin{aligned} Q(p) = k \cdot p + d \end{aligned}\]

Aus der Angabe ist bekannt, dass bei einem Preis von \(74\) GE \(1320\) Stück abgesetzt werden können. Es gilt also \[\begin{aligned} Q(74) = 1320 = k \cdot 74 + d. \end{aligned}\] Zudem ist bekannt, dass bei einem Preis von \(142\) GE \(770\) Stück abgesetzt werden können. Es gilt also \[\begin{aligned} Q(142) = 770 = k \cdot 142 + d. \end{aligned}\]

Formt man nun (1) nach \(d\) um, erhält man \[\begin{aligned} d = 1320 - k \cdot 74. \end{aligned}\]

Setzt man (3) in (2) ein, kann man \(k\) berechnen. \[\begin{aligned} 770 &=& k \cdot 142 + 1320 - k \cdot 74\\ -550 &=& k \cdot 68\\ k &=& \frac{-550}{68} \end{aligned}\]

Jetzt kann man in (3) \(k\) einsetzen um \(d\) zu berechnen. \[\begin{aligned} d &=& 1320 - \left ( \frac{-550}{68} \right ) \cdot 74 = 1918.529412 \end{aligned}\]

Die Nachfragefunktion \(Q(p)\) lautet also \[\begin{aligned} Q(p) = \frac{-550}{68} \cdot p + 1918.529412. \end{aligned}\]

Die Erlösfunktion lautet: \[\begin{aligned} R(p) &=& Q(p) \cdot p = \left ( \frac{-550}{68} \cdot p + 1918.529412 \right ) \cdot p\\ &=& \frac{-550}{68} \cdot p^2 + 1918.529412 \cdot p \end{aligned}\]

Die Fixkosten betragen \(105600\) GE und die variablen Kosten \(37\) GE pro Stück. Die Kostenfunktion lautet somit \[\begin{aligned} C(q) = 105600 + 37 \cdot q. \end{aligned}\] Jetzt kann man die Stückzahl \(q\) durch die Nachfragefunktion ersetzen. \[\begin{aligned} C(p) &=& 105600 + 37 \cdot \left ( \frac{-550}{68} \cdot p + 1918.529412 \right )\\ &=& 105600 - \frac{37 \cdot 550}{68} \cdot p + 37 \cdot 1918.529412\\ &=& 176585.588244 - \frac{20350}{68} \cdot p \end{aligned}\]

Der Gewinn errechnet sich aus Erlöse minus Kosten. \[\begin{aligned} \pi(p) &=& R(p) - C(p)\\ &=& \frac{-550}{68} \cdot p^2 + 1918.529412 \cdot p - 176585.588244 + \frac{20350}{68} \cdot p\\ &=& \frac{-550}{68} \cdot p^2 + \left ( 1918.529412 + \frac{20350}{68} \right ) \cdot p - 176585.588244\\ &=& \frac{-550}{68} \cdot p^2 + 2217.794118 \cdot p - 176585.588244 \end{aligned}\]

Jetzt berechnet man den gewinnmaximierenden Preis \(p_{max}\), indem man die erste Ableitung der Gewinnfunktion Null setzt. \[\begin{aligned} \pi'(p_{max}) = -\frac{2 \cdot 550}{68} \cdot p + 2217.794118 &\stackrel{!}{=}& 0\\ p_{max} &=& \frac{2217.794118 \cdot 68}{2 \cdot 550} = 137.1 \end{aligned}\]

Mit Hilfe der zweiten Ableitung an der Stelle \(p_{max}\) wird überprüft, ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt: \[\begin{aligned} \pi''(p_{max}) = -\frac{2 \cdot 550}{68} < 0 \end{aligned}\]

Da die zweite Ableitung an der Stelle \(p_{max} < 0\) ist, handelt es sich um ein Maximum. Der Preis, bei dem der größte Gewinn erzielt wird, beträgt somit \(137.1\) GE.

Setzt man \(p_{max}\) in die Gewinnfunktion \(\pi\) ein, erhält man den maximalen Gewinn. \[\begin{aligned} \pi(137.1) &=& \frac{-550}{68} \cdot 137.1^2 + 2217.794118 \cdot 137.1 - 176585.588244\\ &=& -152029.786797 + 304059.573594 - 176585.588244\\ &=& -24555.801447 \approx -24555.80 \end{aligned}\]

Der maximal erzielbare Gewinn beträgt somit \(-24555.80\) GE.

Will man dieses Beispiel mithilfe der Scheitelpunktformel \[\begin{aligned} b = -\frac{B}{2A} \end{aligned}\] lösen, so muss man die \(x\)-Koordinate des Scheitels der Funktion \[\begin{aligned} \pi(p) = \frac{-550}{68} \cdot p^2 + 2217.794118 \cdot p - 176585.588244 \end{aligned}\] bestimmen. Es gilt: \[\begin{aligned} A &=& \frac{-550}{68}\\ B &=& 2217.794118 \end{aligned}\] Somit liegt die \(x\)-Koordinate des Scheitels bei \[\begin{aligned} b = -\frac{2217.794118}{2 \cdot \frac{-550}{68}} = \frac{2217.794118 \cdot 68}{2 \cdot 550} = 137.1. \end{aligned}\]

Jetzt setzt man dieses Ergebnis als Preis \(p\) in die Gewinnfunktion \(\pi(p)\) ein.

c

Die Ölfirma Schnell fördert Öl mittels \(22\) identischer Plattformen. Die Ölfirma produziert unter der Kostenfunktion \[\begin{aligned} C(q) &=& 2.5408\cdot q^2 + 125 \cdot q + 525 \end{aligned}\] wobei \(q\) die Gesamtmenge der geförderten Megabarrel (Mbbl) Öl bezeichnet.
Die inverse Nachfragefunktion nach Öl in GE/Mbbl lautet: \(D^{-1}(q) = -25 \cdot q + 2500\).
Wie hoch sind die Kosten pro Plattform im Erlösoptimum?

Die Erlösfunktion lautet: \[\begin{aligned} R(q) = D^{-1}(q) \cdot q = -25 \cdot q^2 + 2500 \cdot q \end{aligned}\]

Das Maximum findet man, indem man die erste Ableitung von \(R\) gleich Null setzt. \[\begin{aligned} R'(q_{max}) = 2 \cdot (-25) \cdot q_{max} + 2500 &\stackrel{!}{=}& 0\\ q_{max} &=& \frac{-2500}{2 \cdot (-25)} = 50 \end{aligned}\]

Die Gesamtproduktionsmenge, die den Erlös optimiert, beträgt \(50.00\) Mbbl Öl.
Die Gesamtkosten im Erlösoptimum errechnen sich durch \[\begin{aligned} C(50) &=& 2.5408\cdot 50^2 + 125 \cdot 50 + 525\\ &=& 13127 \end{aligned}\]

Die Gesamtkosten im Erlösoptimum betragen \(13127.00\) GE.
Die Kosten pro Plattform im Erlösoptimum betragen \(\frac{13127}{22} = 596.68\) GE.

d

Die Ölfirma Schnell fördert Öl mittels \(8\) identischer Plattformen. Die Ölfirma produziert unter der Kostenfunktion \[\begin{aligned} C(q) &=& 0.0015 \cdot q^3 + 0.2437 \cdot q^2 + 3 \cdot q + 11 \end{aligned}\] wobei \(q\) die Gesamtmenge der geförderten Megabarrel (Mbbl) Öl bezeichnet.
Bei einem Preis von \(2.5\) GE/Mbbl beträgt die nachgefragte Menge \(100\) Mbbl. Bei einem Preis von \(15\) GE/Mbbl verschwindet die Nachfrage.
Wie hoch sind die Kosten pro Plattform im Gewinnoptimum?

Zur Berechnung der Nachfragefunktion \(D(p) = -a p + \alpha\) stellen wir zwei Gleichungen auf. \[\begin{aligned} D(2.5) &=& -a \cdot 2.5 + \alpha = 100\\ D(15) &=& -a \cdot 15 + \alpha = 0\\ \end{aligned}\]

Nun lösen wir dieses Gleichungssystem indem wir die zweite Gleichung von der Ersten subtrahieren. \[\begin{aligned} -a \cdot 15 + \alpha - (-a \cdot 2.5 + \alpha) &=& 0 - 100\\ -12.5 \cdot a &=& -100\\ a &=& 8\\ \end{aligned}\]

Dieses Ergebnis setzen wir nun in die erste Gleichung ein und erhalten den Ordinatenabschnitt \(\alpha\). \[\begin{aligned} -8 \cdot 2.5 + \alpha &=& 100\\ \alpha &=& 120 \end{aligned}\]

Die Nachfrage nach Öl lautet somit \(D(p) = -8 \cdot p + 120\).
Daraus leiten wir uns die inverse Nachfragefunktion ab: \(D^{-1}(q) = -0.125 \cdot q + 15\).
Die Erlösfunktion lautet: \[\begin{aligned} R(q) = D^{-1}(q) \cdot q = -0.125 \cdot q^2 + 15 \cdot q. \end{aligned}\]

Die Gewinnfunktion lautet: \[\begin{aligned} \pi(q) &=& R(q) - C(q) \\ &=& -0.125 \cdot q^2 + 15 \cdot q - (0.0015 \cdot q^3 + 0.2437 \cdot q^2 + 3 \cdot q + 11)\\ &=& -0.0015 q^3 -0.3687 q^2 + 12 q -11 \end{aligned}\]

Das Maximum findet man, indem man die erste Ableitung von \(\pi\) gleich Null setzt. \[\begin{aligned} \pi'(q_{max}) = 3 \cdot (-0.0015) q^2_{max} + 2 \cdot (-0.3687) q_{max} + 12 &\stackrel{!}{=}& 0\\ -0.0045 q^2_{max} -0.7374 q_{max} + 12 &\stackrel{!}{=}& 0\\ \Rightarrow q_{max_1} &=& -178.78238\\ \Rightarrow q_{max_2} &=& 14.915713 \end{aligned}\]

Um zu prüfen, ob die positive Lösung wirklich ein Maximum darstellt, muss die zweite Ableitung in diesem Punkt kleiner Null sein. \[\begin{aligned} \pi''(14.915713) &=& -0.009 \cdot 14.915713 -0.7374\\ &=& -0.871641 < 0 \end{aligned}\]

Somit handelt es sich tatsächlich um ein Maximum.
Die Gesamtproduktionsmenge, die den Gewinn optimiert, beträgt \(14.92\) Mbbl Öl.
Die Gesamtkosten im Gewinnoptimum errechnen sich durch \[\begin{aligned} C(14.915713) = 0.0015 \cdot 14.915713^3 + 0.2437 \cdot 14.915713^2 + 3 \cdot 14.915713 + 11 &=& 114.942786 \end{aligned}\]

Die Gesamtkosten im Gewinnoptimum betragen \(114.94\) GE.
Die Kosten pro Plattform im Gewinnoptimum betragen \(\frac{114.942786}{8} = 14.37\) GE.

Arithmetische Folgen

a

Jemand kauft ein Pferd unter der Bedingung, dass er für den ersten Hufnagel \(10\) GE und dann immer \(14\) GE mehr für jeden weiteren Nagel bezahlen soll (also \(24\) für den zweiten, \(38\) für den dritten, usw.). Insgesamt sind es \(41\) Hufnägel. Wie viel muss er für das Pferd bezahlen?

Wenn die Kosten für den \(n\)-ten Nagel mit \(a_n\) bezeichnet werden, dann bilden diese \(a_n\) offenbar eine arithmetische Folge. Das erste Folgenglied ist \(a_1 = 10\), der Abstand zwischen zwei benachbarten Folgengliedern ist immer \(14\), und damit ist \(a_n = 10 + (n-1) \cdot 14\).

Die gesamten Kosten betragen nun \[\begin{aligned} s_{41} & = & a_1 + a_2 + \dots + a_{41} \\ & = & 41 \cdot \frac{a_1 + a_{41}}{2} \\ & = & 41 \cdot \frac{10 + 10 + (41 - 1) \cdot 14}{2} ~=~ 11890 \end{aligned}\] Die Gesamtkosten für das Pferd betragen \(11890.00\) GE.