1 Lineare und quadratische Funktionen

Lineare Funktionen

a

Ein Hotel mit \(1000\) Zimmern macht einen Gewinn von \(470\) GE pro Tag und belegtem Zimmer. Ein unbelegtes Zimmer verursacht einen Verlust von \(540\) GE pro Tag.

Wieviele Zimmer müssen mindestens belegt sein, damit das Hotel ohne Verlust arbeiten kann? (Runden Sie das Endergebnis auf eine ganze Zahl.)

Der Gewinn aus den vermieten Zimmern \(x\) soll dem Verlust aus den unbelegten Zimmern \((1000 - x)\) entsprechen.

\[\begin{aligned} 470 \cdot x - (1000 - x) \cdot 540 & = & 0\\ x & = & \frac{540 \cdot 1000}{470 + 540} = 534.653465 \approx 534.65 \end{aligned}\] Es müssen also mindestens 535 Zimmer belegt sein. (Da nach der Mindestanzahl gefragt ist, muss auf die nächste ganze Zahl aufgerundet werden.)

Ein Hotel mit \(140\) Zimmern macht einen Gewinn von \(450\) GE pro Tag und belegtem Zimmer. Ein unbelegtes Zimmer verursacht einen Verlust von \(570\) GE pro Tag.

Wieviele Zimmer müssen mindestens belegt sein, damit das Hotel ohne Verlust arbeiten kann? (Runden Sie das Endergebnis auf eine ganze Zahl.)

Der Gewinn aus den vermieten Zimmern \(x\) soll dem Verlust aus den unbelegten Zimmern \((140 - x)\) entsprechen.

\[\begin{aligned} 450 \cdot x - (140 - x) \cdot 570 & = & 0\\ x & = & \frac{570 \cdot 140}{450 + 570} = 78.235294 \approx 78.24 \end{aligned}\] Es müssen also mindestens 79 Zimmer belegt sein. (Da nach der Mindestanzahl gefragt ist, muss auf die nächste ganze Zahl aufgerundet werden.)

Ein Hotel mit \(670\) Zimmern macht einen Gewinn von \(400\) GE pro Tag und belegtem Zimmer. Ein unbelegtes Zimmer verursacht einen Verlust von \(530\) GE pro Tag.

Wieviele Zimmer müssen mindestens belegt sein, damit das Hotel ohne Verlust arbeiten kann? (Runden Sie das Endergebnis auf eine ganze Zahl.)

Der Gewinn aus den vermieten Zimmern \(x\) soll dem Verlust aus den unbelegten Zimmern \((670 - x)\) entsprechen.

\[\begin{aligned} 400 \cdot x - (670 - x) \cdot 530 & = & 0\\ x & = & \frac{530 \cdot 670}{400 + 530} = 381.827957 \approx 381.83 \end{aligned}\] Es müssen also mindestens 382 Zimmer belegt sein. (Da nach der Mindestanzahl gefragt ist, muss auf die nächste ganze Zahl aufgerundet werden.)

b

Ein Unternehmen plant die Einführung eines neuen Produkts für das \(9850\) GE Fixkosten veranschlagt sind. Die Produktion einer Einheit verursacht Kosten von \(120\) GE. Bei \(1970\) Stück soll der Break-even-Point erreicht werden. Aufgrund einer Umweltverträglichkeitsprüfung muss die Produktion nach \(440\) Stück abgebrochen werden.

Wie hoch ist der Schaden, der dem Unternehmen dadurch entstanden ist?

Die Kostenfunktion setzt sich zusammen aus variablen Kosten \(k x\) und Fixkosten \(d\) und lautet \(C(x) = k x + d = 120 \cdot x + 9850\). Damit die Menge \(x = 1970\) dem Break-even-Point entspricht, muss für diese Menge \(C(x) = R(x)\) gelten, dh. \[\begin{aligned} C(x) &=& R(x)\\ 120 \cdot 1970 + 9850 &=& p \cdot 1970\\ p &=& 125 \end{aligned}\] Es ergibt sich demnach ein Gleichgewichtspreis in Höhe von \(p = 125\). Wenn der Verkauf jedoch bei Menge \(x = 440\) gestoppt wird, entsteht ein Schaden als \[\begin{aligned} C(440) - R(440) & = & 120 \cdot 440 + 9850 - 125 \cdot 440 = 7650.00. \end{aligned}\] Der entstandene Schaden für das Unternehmen beträgt \(7650.00\) GE.

Ein Unternehmen plant die Einführung eines neuen Produkts für das \(5760\) GE Fixkosten veranschlagt sind. Die Produktion einer Einheit verursacht Kosten von \(100\) GE. Bei \(1920\) Stück soll der Break-even-Point erreicht werden. Aufgrund einer Umweltverträglichkeitsprüfung muss die Produktion nach \(730\) Stück abgebrochen werden.

Wie hoch ist der Schaden, der dem Unternehmen dadurch entstanden ist?

Die Kostenfunktion setzt sich zusammen aus variablen Kosten \(k x\) und Fixkosten \(d\) und lautet \(C(x) = k x + d = 100 \cdot x + 5760\). Damit die Menge \(x = 1920\) dem Break-even-Point entspricht, muss für diese Menge \(C(x) = R(x)\) gelten, dh. \[\begin{aligned} C(x) &=& R(x)\\ 100 \cdot 1920 + 5760 &=& p \cdot 1920\\ p &=& 103 \end{aligned}\] Es ergibt sich demnach ein Gleichgewichtspreis in Höhe von \(p = 103\). Wenn der Verkauf jedoch bei Menge \(x = 730\) gestoppt wird, entsteht ein Schaden als \[\begin{aligned} C(730) - R(730) & = & 100 \cdot 730 + 5760 - 103 \cdot 730 = 3570.00. \end{aligned}\] Der entstandene Schaden für das Unternehmen beträgt \(3570.00\) GE.

Ein Unternehmen plant die Einführung eines neuen Produkts für das \(3270\) GE Fixkosten veranschlagt sind. Die Produktion einer Einheit verursacht Kosten von \(110\) GE. Bei \(1090\) Stück soll der Break-even-Point erreicht werden. Aufgrund einer Umweltverträglichkeitsprüfung muss die Produktion nach \(630\) Stück abgebrochen werden.

Wie hoch ist der Schaden, der dem Unternehmen dadurch entstanden ist?

Die Kostenfunktion setzt sich zusammen aus variablen Kosten \(k x\) und Fixkosten \(d\) und lautet \(C(x) = k x + d = 110 \cdot x + 3270\). Damit die Menge \(x = 1090\) dem Break-even-Point entspricht, muss für diese Menge \(C(x) = R(x)\) gelten, dh. \[\begin{aligned} C(x) &=& R(x)\\ 110 \cdot 1090 + 3270 &=& p \cdot 1090\\ p &=& 113 \end{aligned}\] Es ergibt sich demnach ein Gleichgewichtspreis in Höhe von \(p = 113\). Wenn der Verkauf jedoch bei Menge \(x = 630\) gestoppt wird, entsteht ein Schaden als \[\begin{aligned} C(630) - R(630) & = & 110 \cdot 630 + 3270 - 113 \cdot 630 = 1380.00. \end{aligned}\] Der entstandene Schaden für das Unternehmen beträgt \(1380.00\) GE.

Quadratische Funktionen

a

Bei einem Monatsbeitrag von \(132\) GE würden \(75\) Kinder im Kindergarten angemeldet werden. Jede Erhöhung des Monatsbeitrags um \(12\) GE führt zum Verlust von \(3\) Kindern.
Wie groß ist der maximal erzielbare Erlös?

Zur Bestimmung der Erlösfunktion \(R(p)=p \cdot D(p)\) benötigen wir zunächst die allgemeine Nachfragefunktion \(D(p)=\alpha-a p\). Wir gewinnen sie aus einem Gleichungssystem.

\[\begin{aligned} D(132) &=& 75 = \alpha-132\cdot{a}\\ D(144) &=& 72 = \alpha-144\cdot{a} \end{aligned}\]

Nun subtrahieren wir die erste Gleichung von der zweiten

\[\begin{aligned} 75-72&=& (-132\cdot a) -(-144\cdot a)\\ a &=& 0.25 \end{aligned}\]

und setzen \(a=0.25\) in eine der Gleichungen ein und erhalten \(\alpha\).

\[\begin{aligned} 75&=& \alpha-132\cdot{0.25}\\ \alpha&=&108 \end{aligned}\]

Also lautet die Nachfragefunktion: \[\begin{aligned} D(p) &=& -0.25\cdot p + 108 \end{aligned}\]

Aus dieser gewinnen wir die Erlösfunktion \[\begin{aligned} R(p)&=& -0.25\cdot p^2 + 108 \cdot p\\ R(p)&=& A\cdot p^2 + B \cdot p +C \end{aligned}\]

Der Scheitel dieser quadratischen Funktion liegt bei \[\begin{aligned} p_{max} &=& -\frac{B}{2\cdot A}\\ p_{max} &=& -\frac{108}{2\cdot{(-0.25)}} = 216 \end{aligned}\]

Also wird bei einem Monatsbeitrag von \(216.00\) GE der größte Erlös erzielt.

Das Maximum findet man auch, indem man die erste Ableitung von \(R(p)\) gleich Null setzt: \[\begin{aligned} R'(p_{max}) = -2 \cdot 0.25 \cdot p_{max} + 108 &\stackrel{!}{=}& 0\\ p_{max} &=& \frac{108}{2 \cdot 0.25} = 216.00 \end{aligned}\]

Wie groß ist dann die Nachfrage?

\[\begin{aligned} D(p_{max}) = D(216) &=& -0.25\cdot{216}+108 = 54 \end{aligned}\]

Zum erlösmaximierenden Preis werden demnach \(54.00\) Plätze nachgefragt.

Wie groß ist der maximal erzielbare Erlös? \[\begin{aligned} R = 54 \cdot 216 = 11664 \end{aligned}\] Im Erlösoptimum beträgt der Erlös \(R=11664.00\).

Bei einem Monatsbeitrag von \(118\) GE würden \(59\) Kinder im Kindergarten angemeldet werden. Jede Erhöhung des Monatsbeitrags um \(16\) GE führt zum Verlust von \(8\) Kindern.
Wie viele Plätze werden im Erlösoptimum nachgefragt?

Zur Bestimmung der Erlösfunktion \(R(p)=p \cdot D(p)\) benötigen wir zunächst die allgemeine Nachfragefunktion \(D(p)=\alpha-a p\). Wir gewinnen sie aus einem Gleichungssystem.

\[\begin{aligned} D(118) &=& 59 = \alpha-118\cdot{a}\\ D(134) &=& 51 = \alpha-134\cdot{a} \end{aligned}\]

Nun subtrahieren wir die erste Gleichung von der zweiten

\[\begin{aligned} 59-51&=& (-118\cdot a) -(-134\cdot a)\\ a &=& 0.5 \end{aligned}\]

und setzen \(a=0.5\) in eine der Gleichungen ein und erhalten \(\alpha\).

\[\begin{aligned} 59&=& \alpha-118\cdot{0.5}\\ \alpha&=&118 \end{aligned}\]

Also lautet die Nachfragefunktion: \[\begin{aligned} D(p) &=& -0.5\cdot p + 118 \end{aligned}\]

Aus dieser gewinnen wir die Erlösfunktion \[\begin{aligned} R(p)&=& -0.5\cdot p^2 + 118 \cdot p\\ R(p)&=& A\cdot p^2 + B \cdot p +C \end{aligned}\]

Der Scheitel dieser quadratischen Funktion liegt bei \[\begin{aligned} p_{max} &=& -\frac{B}{2\cdot A}\\ p_{max} &=& -\frac{118}{2\cdot{(-0.5)}} = 118 \end{aligned}\]

Also wird bei einem Monatsbeitrag von \(118.00\) GE der größte Erlös erzielt.

Das Maximum findet man auch, indem man die erste Ableitung von \(R(p)\) gleich Null setzt: \[\begin{aligned} R'(p_{max}) = -2 \cdot 0.5 \cdot p_{max} + 118 &\stackrel{!}{=}& 0\\ p_{max} &=& \frac{118}{2 \cdot 0.5} = 118.00 \end{aligned}\]

Wie groß ist dann die Nachfrage?

\[\begin{aligned} D(p_{max}) = D(118) &=& -0.5\cdot{118}+118 = 59 \end{aligned}\]

Zum erlösmaximierenden Preis werden demnach \(59.00\) Plätze nachgefragt.

Bei einem Monatsbeitrag von \(94\) GE würden \(55\) Kinder im Kindergarten angemeldet werden. Jede Erhöhung des Monatsbeitrags um \(58\) GE führt zum Verlust von \(29\) Kindern.
Wie groß ist die Nachfrage, wenn der Kindergartenplatz gratis ist?

Zur Bestimmung der Erlösfunktion \(R(p)=p \cdot D(p)\) benötigen wir zunächst die allgemeine Nachfragefunktion \(D(p)=\alpha-a p\). Wir gewinnen sie aus einem Gleichungssystem.

\[\begin{aligned} D(94) &=& 55 = \alpha-94\cdot{a}\\ D(152) &=& 26 = \alpha-152\cdot{a} \end{aligned}\]

Nun subtrahieren wir die erste Gleichung von der zweiten

\[\begin{aligned} 55-26&=& (-94\cdot a) -(-152\cdot a)\\ a &=& 0.5 \end{aligned}\]

und setzen \(a=0.5\) in eine der Gleichungen ein und erhalten \(\alpha\).

\[\begin{aligned} 55&=& \alpha-94\cdot{0.5}\\ \alpha&=&102 \end{aligned}\]

Also lautet die Nachfragefunktion: \[\begin{aligned} D(p) &=& -0.5\cdot p + 102 \end{aligned}\]

Wie groß ist die Nachfrage, wenn der Kindergartenplatz gratis ist (\(p = 0\))?

\[\begin{aligned} D(0) &=& -0.5\cdot 0 + 102\\ D(0) &=& 102 \end{aligned}\]

Bei einem Preis von \(0\) GE werden somit \(102.00\) Plätze nachgefragt.

b

Ein Fabrikant kann von einer Ware bei einem Preis von \(78\) GE \(1360\) Stück, bei einem Preis von \(152\) GE aber nur \(830\) Stück absetzen. Dem Fabrikanten entstehen Fixkosten von \(108600\) GE und zusätzlich pro Stück Kosten von \(26\) GE. Berechnen Sie den Gewinn, den der Fabrikant maximal erzielen kann.

Zur Lösung dieser Aufgabe muss zuerst die entsprechende Nachfragefunktion \(Q(p)\) gefunden werden. \(Q\) gibt die absetzbaren Stück in Abhängigkeit vom Preis \(p\) an. Die Nachfrage ist linear und hat die Form: \[\begin{aligned} Q(p) = k \cdot p + d \end{aligned}\]

Aus der Angabe ist bekannt, dass bei einem Preis von \(78\) GE \(1360\) Stück abgesetzt werden können. Es gilt also \[\begin{aligned} Q(78) = 1360 = k \cdot 78 + d. \end{aligned}\] Zudem ist bekannt, dass bei einem Preis von \(152\) GE \(830\) Stück abgesetzt werden können. Es gilt also \[\begin{aligned} Q(152) = 830 = k \cdot 152 + d. \end{aligned}\]

Formt man nun (1) nach \(d\) um, erhält man \[\begin{aligned} d = 1360 - k \cdot 78. \end{aligned}\]

Setzt man (3) in (2) ein, kann man \(k\) berechnen. \[\begin{aligned} 830 &=& k \cdot 152 + 1360 - k \cdot 78\\ -530 &=& k \cdot 74\\ k &=& \frac{-530}{74} \end{aligned}\]

Jetzt kann man in (3) \(k\) einsetzen um \(d\) zu berechnen. \[\begin{aligned} d &=& 1360 - \left ( \frac{-530}{74} \right ) \cdot 78 = 1918.648649 \end{aligned}\]

Die Nachfragefunktion \(Q(p)\) lautet also \[\begin{aligned} Q(p) = \frac{-530}{74} \cdot p + 1918.648649. \end{aligned}\]

Die Erlösfunktion lautet: \[\begin{aligned} R(p) &=& Q(p) \cdot p = \left ( \frac{-530}{74} \cdot p + 1918.648649 \right ) \cdot p\\ &=& \frac{-530}{74} \cdot p^2 + 1918.648649 \cdot p \end{aligned}\]

Die Fixkosten betragen \(108600\) GE und die variablen Kosten \(26\) GE pro Stück. Die Kostenfunktion lautet somit \[\begin{aligned} C(q) = 108600 + 26 \cdot q. \end{aligned}\] Jetzt kann man die Stückzahl \(q\) durch die Nachfragefunktion ersetzen. \[\begin{aligned} C(p) &=& 108600 + 26 \cdot \left ( \frac{-530}{74} \cdot p + 1918.648649 \right )\\ &=& 108600 - \frac{26 \cdot 530}{74} \cdot p + 26 \cdot 1918.648649\\ &=& 158484.864874 - \frac{13780}{74} \cdot p \end{aligned}\]

Der Gewinn errechnet sich aus Erlöse minus Kosten. \[\begin{aligned} \pi(p) &=& R(p) - C(p)\\ &=& \frac{-530}{74} \cdot p^2 + 1918.648649 \cdot p - 158484.864874 + \frac{13780}{74} \cdot p\\ &=& \frac{-530}{74} \cdot p^2 + \left ( 1918.648649 + \frac{13780}{74} \right ) \cdot p - 158484.864874\\ &=& \frac{-530}{74} \cdot p^2 + 2104.864865 \cdot p - 158484.864874 \end{aligned}\]

Jetzt berechnet man den gewinnmaximierenden Preis \(p_{max}\), indem man die erste Ableitung der Gewinnfunktion Null setzt. \[\begin{aligned} \pi'(p_{max}) = -\frac{2 \cdot 530}{74} \cdot p + 2104.864865 &\stackrel{!}{=}& 0\\ p_{max} &=& \frac{2104.864865 \cdot 74}{2 \cdot 530} = 146.943396 \end{aligned}\]

Mit Hilfe der zweiten Ableitung an der Stelle \(p_{max}\) wird überprüft, ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt: \[\begin{aligned} \pi''(p_{max}) = -\frac{2 \cdot 530}{74} < 0 \end{aligned}\]

Da die zweite Ableitung an der Stelle \(p_{max} < 0\) ist, handelt es sich um ein Maximum. Der Preis, bei dem der größte Gewinn erzielt wird, beträgt somit \(146.943396\) GE.

Setzt man \(p_{max}\) in die Gewinnfunktion \(\pi\) ein, erhält man den maximalen Gewinn. \[\begin{aligned} \pi(146.943396) &=& \frac{-530}{74} \cdot 146.943396^2 + 2104.864865 \cdot 146.943396 - 158484.864874\\ &=& -154647.995972 + 309295.991944 - 158484.864874\\ &=& -3836.868902 \approx -3836.87 \end{aligned}\]

Der maximal erzielbare Gewinn beträgt somit \(-3836.87\) GE.

Will man dieses Beispiel mithilfe der Scheitelpunktformel \[\begin{aligned} b = -\frac{B}{2A} \end{aligned}\] lösen, so muss man die \(x\)-Koordinate des Scheitels der Funktion \[\begin{aligned} \pi(p) = \frac{-530}{74} \cdot p^2 + 2104.864865 \cdot p - 158484.864874 \end{aligned}\] bestimmen. Es gilt: \[\begin{aligned} A &=& \frac{-530}{74}\\ B &=& 2104.864865 \end{aligned}\] Somit liegt die \(x\)-Koordinate des Scheitels bei \[\begin{aligned} b = -\frac{2104.864865}{2 \cdot \frac{-530}{74}} = \frac{2104.864865 \cdot 74}{2 \cdot 530} = 146.943396. \end{aligned}\]

Jetzt setzt man dieses Ergebnis als Preis \(p\) in die Gewinnfunktion \(\pi(p)\) ein.

Ein Fabrikant kann von einer Ware bei einem Preis von \(78\) GE \(1400\) Stück, bei einem Preis von \(154\) GE aber nur \(920\) Stück absetzen. Dem Fabrikanten entstehen Fixkosten von \(97500\) GE und zusätzlich pro Stück Kosten von \(29\) GE. Berechnen Sie den Gewinn, den der Fabrikant maximal erzielen kann.

Zur Lösung dieser Aufgabe muss zuerst die entsprechende Nachfragefunktion \(Q(p)\) gefunden werden. \(Q\) gibt die absetzbaren Stück in Abhängigkeit vom Preis \(p\) an. Die Nachfrage ist linear und hat die Form: \[\begin{aligned} Q(p) = k \cdot p + d \end{aligned}\]

Aus der Angabe ist bekannt, dass bei einem Preis von \(78\) GE \(1400\) Stück abgesetzt werden können. Es gilt also \[\begin{aligned} Q(78) = 1400 = k \cdot 78 + d. \end{aligned}\] Zudem ist bekannt, dass bei einem Preis von \(154\) GE \(920\) Stück abgesetzt werden können. Es gilt also \[\begin{aligned} Q(154) = 920 = k \cdot 154 + d. \end{aligned}\]

Formt man nun (1) nach \(d\) um, erhält man \[\begin{aligned} d = 1400 - k \cdot 78. \end{aligned}\]

Setzt man (3) in (2) ein, kann man \(k\) berechnen. \[\begin{aligned} 920 &=& k \cdot 154 + 1400 - k \cdot 78\\ -480 &=& k \cdot 76\\ k &=& \frac{-480}{76} \end{aligned}\]

Jetzt kann man in (3) \(k\) einsetzen um \(d\) zu berechnen. \[\begin{aligned} d &=& 1400 - \left ( \frac{-480}{76} \right ) \cdot 78 = 1892.631579 \end{aligned}\]

Die Nachfragefunktion \(Q(p)\) lautet also \[\begin{aligned} Q(p) = \frac{-480}{76} \cdot p + 1892.631579. \end{aligned}\]

Die Erlösfunktion lautet: \[\begin{aligned} R(p) &=& Q(p) \cdot p = \left ( \frac{-480}{76} \cdot p + 1892.631579 \right ) \cdot p\\ &=& \frac{-480}{76} \cdot p^2 + 1892.631579 \cdot p \end{aligned}\]

Die Fixkosten betragen \(97500\) GE und die variablen Kosten \(29\) GE pro Stück. Die Kostenfunktion lautet somit \[\begin{aligned} C(q) = 97500 + 29 \cdot q. \end{aligned}\] Jetzt kann man die Stückzahl \(q\) durch die Nachfragefunktion ersetzen. \[\begin{aligned} C(p) &=& 97500 + 29 \cdot \left ( \frac{-480}{76} \cdot p + 1892.631579 \right )\\ &=& 97500 - \frac{29 \cdot 480}{76} \cdot p + 29 \cdot 1892.631579\\ &=& 152386.315791 - \frac{13920}{76} \cdot p \end{aligned}\]

Der Gewinn errechnet sich aus Erlöse minus Kosten. \[\begin{aligned} \pi(p) &=& R(p) - C(p)\\ &=& \frac{-480}{76} \cdot p^2 + 1892.631579 \cdot p - 152386.315791 + \frac{13920}{76} \cdot p\\ &=& \frac{-480}{76} \cdot p^2 + \left ( 1892.631579 + \frac{13920}{76} \right ) \cdot p - 152386.315791\\ &=& \frac{-480}{76} \cdot p^2 + 2075.789474 \cdot p - 152386.315791 \end{aligned}\]

Jetzt berechnet man den gewinnmaximierenden Preis \(p_{max}\), indem man die erste Ableitung der Gewinnfunktion Null setzt. \[\begin{aligned} \pi'(p_{max}) = -\frac{2 \cdot 480}{76} \cdot p + 2075.789474 &\stackrel{!}{=}& 0\\ p_{max} &=& \frac{2075.789474 \cdot 76}{2 \cdot 480} = 164.333333 \end{aligned}\]

Mit Hilfe der zweiten Ableitung an der Stelle \(p_{max}\) wird überprüft, ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt: \[\begin{aligned} \pi''(p_{max}) = -\frac{2 \cdot 480}{76} < 0 \end{aligned}\]

Da die zweite Ableitung an der Stelle \(p_{max} < 0\) ist, handelt es sich um ein Maximum. Der Preis, bei dem der größte Gewinn erzielt wird, beträgt somit \(164.333333\) GE.

Setzt man \(p_{max}\) in die Gewinnfunktion \(\pi\) ein, erhält man den maximalen Gewinn. \[\begin{aligned} \pi(164.333333) &=& \frac{-480}{76} \cdot 164.333333^2 + 2075.789474 \cdot 164.333333 - 152386.315791\\ &=& -170560.701763 + 341121.403526 - 152386.315791\\ &=& 18174.385972 \approx 18174.39 \end{aligned}\]

Der maximal erzielbare Gewinn beträgt somit \(18174.39\) GE.

Will man dieses Beispiel mithilfe der Scheitelpunktformel \[\begin{aligned} b = -\frac{B}{2A} \end{aligned}\] lösen, so muss man die \(x\)-Koordinate des Scheitels der Funktion \[\begin{aligned} \pi(p) = \frac{-480}{76} \cdot p^2 + 2075.789474 \cdot p - 152386.315791 \end{aligned}\] bestimmen. Es gilt: \[\begin{aligned} A &=& \frac{-480}{76}\\ B &=& 2075.789474 \end{aligned}\] Somit liegt die \(x\)-Koordinate des Scheitels bei \[\begin{aligned} b = -\frac{2075.789474}{2 \cdot \frac{-480}{76}} = \frac{2075.789474 \cdot 76}{2 \cdot 480} = 164.333333. \end{aligned}\]

Jetzt setzt man dieses Ergebnis als Preis \(p\) in die Gewinnfunktion \(\pi(p)\) ein.

Ein Fabrikant kann von einer Ware bei einem Preis von \(74\) GE \(1350\) Stück, bei einem Preis von \(169\) GE aber nur \(780\) Stück absetzen. Dem Fabrikanten entstehen Fixkosten von \(91300\) GE und zusätzlich pro Stück Kosten von \(39\) GE. Berechnen Sie den Gewinn, den der Fabrikant maximal erzielen kann.

Zur Lösung dieser Aufgabe muss zuerst die entsprechende Nachfragefunktion \(Q(p)\) gefunden werden. \(Q\) gibt die absetzbaren Stück in Abhängigkeit vom Preis \(p\) an. Die Nachfrage ist linear und hat die Form: \[\begin{aligned} Q(p) = k \cdot p + d \end{aligned}\]

Aus der Angabe ist bekannt, dass bei einem Preis von \(74\) GE \(1350\) Stück abgesetzt werden können. Es gilt also \[\begin{aligned} Q(74) = 1350 = k \cdot 74 + d. \end{aligned}\] Zudem ist bekannt, dass bei einem Preis von \(169\) GE \(780\) Stück abgesetzt werden können. Es gilt also \[\begin{aligned} Q(169) = 780 = k \cdot 169 + d. \end{aligned}\]

Formt man nun (1) nach \(d\) um, erhält man \[\begin{aligned} d = 1350 - k \cdot 74. \end{aligned}\]

Setzt man (3) in (2) ein, kann man \(k\) berechnen. \[\begin{aligned} 780 &=& k \cdot 169 + 1350 - k \cdot 74\\ -570 &=& k \cdot 95\\ k &=& \frac{-570}{95} \end{aligned}\]

Jetzt kann man in (3) \(k\) einsetzen um \(d\) zu berechnen. \[\begin{aligned} d &=& 1350 - \left ( \frac{-570}{95} \right ) \cdot 74 = 1794 \end{aligned}\]

Die Nachfragefunktion \(Q(p)\) lautet also \[\begin{aligned} Q(p) = \frac{-570}{95} \cdot p + 1794. \end{aligned}\]

Die Erlösfunktion lautet: \[\begin{aligned} R(p) &=& Q(p) \cdot p = \left ( \frac{-570}{95} \cdot p + 1794 \right ) \cdot p\\ &=& \frac{-570}{95} \cdot p^2 + 1794 \cdot p \end{aligned}\]

Die Fixkosten betragen \(91300\) GE und die variablen Kosten \(39\) GE pro Stück. Die Kostenfunktion lautet somit \[\begin{aligned} C(q) = 91300 + 39 \cdot q. \end{aligned}\] Jetzt kann man die Stückzahl \(q\) durch die Nachfragefunktion ersetzen. \[\begin{aligned} C(p) &=& 91300 + 39 \cdot \left ( \frac{-570}{95} \cdot p + 1794 \right )\\ &=& 91300 - \frac{39 \cdot 570}{95} \cdot p + 39 \cdot 1794\\ &=& 161266 - \frac{22230}{95} \cdot p \end{aligned}\]

Der Gewinn errechnet sich aus Erlöse minus Kosten. \[\begin{aligned} \pi(p) &=& R(p) - C(p)\\ &=& \frac{-570}{95} \cdot p^2 + 1794 \cdot p - 161266 + \frac{22230}{95} \cdot p\\ &=& \frac{-570}{95} \cdot p^2 + \left ( 1794 + \frac{22230}{95} \right ) \cdot p - 161266\\ &=& \frac{-570}{95} \cdot p^2 + 2028 \cdot p - 161266 \end{aligned}\]

Jetzt berechnet man den gewinnmaximierenden Preis \(p_{max}\), indem man die erste Ableitung der Gewinnfunktion Null setzt. \[\begin{aligned} \pi'(p_{max}) = -\frac{2 \cdot 570}{95} \cdot p + 2028 &\stackrel{!}{=}& 0\\ p_{max} &=& \frac{2028 \cdot 95}{2 \cdot 570} = 169 \end{aligned}\]

Mit Hilfe der zweiten Ableitung an der Stelle \(p_{max}\) wird überprüft, ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt: \[\begin{aligned} \pi''(p_{max}) = -\frac{2 \cdot 570}{95} < 0 \end{aligned}\]

Da die zweite Ableitung an der Stelle \(p_{max} < 0\) ist, handelt es sich um ein Maximum. Der Preis, bei dem der größte Gewinn erzielt wird, beträgt somit \(169\) GE.

Setzt man \(p_{max}\) in die Gewinnfunktion \(\pi\) ein, erhält man den maximalen Gewinn. \[\begin{aligned} \pi(169) &=& \frac{-570}{95} \cdot 169^2 + 2028 \cdot 169 - 161266\\ &=& -171366 + 342732 - 161266\\ &=& 10100 \approx 10100.00 \end{aligned}\]

Der maximal erzielbare Gewinn beträgt somit \(10100.00\) GE.

Will man dieses Beispiel mithilfe der Scheitelpunktformel \[\begin{aligned} b = -\frac{B}{2A} \end{aligned}\] lösen, so muss man die \(x\)-Koordinate des Scheitels der Funktion \[\begin{aligned} \pi(p) = \frac{-570}{95} \cdot p^2 + 2028 \cdot p - 161266 \end{aligned}\] bestimmen. Es gilt: \[\begin{aligned} A &=& \frac{-570}{95}\\ B &=& 2028 \end{aligned}\] Somit liegt die \(x\)-Koordinate des Scheitels bei \[\begin{aligned} b = -\frac{2028}{2 \cdot \frac{-570}{95}} = \frac{2028 \cdot 95}{2 \cdot 570} = 169. \end{aligned}\]

Jetzt setzt man dieses Ergebnis als Preis \(p\) in die Gewinnfunktion \(\pi(p)\) ein.

c

Die Ölfirma Schnell fördert Öl mittels \(21\) identischer Plattformen. Die Ölfirma produziert unter der Kostenfunktion \[\begin{aligned} C(q) &=& 3.4834\cdot q^2 + 125 \cdot q + 600 \end{aligned}\] wobei \(q\) die Gesamtmenge der geförderten Megabarrel (Mbbl) Öl bezeichnet.
Die inverse Nachfragefunktion nach Öl in GE/Mbbl lautet: \(D^{-1}(q) = -25 \cdot q + 2900\).
Wie hoch sind die Kosten pro Plattform im Erlösoptimum?

Die Erlösfunktion lautet: \[\begin{aligned} R(q) = D^{-1}(q) \cdot q = -25 \cdot q^2 + 2900 \cdot q \end{aligned}\]

Das Maximum findet man, indem man die erste Ableitung von \(R\) gleich Null setzt. \[\begin{aligned} R'(q_{max}) = 2 \cdot (-25) \cdot q_{max} + 2900 &\stackrel{!}{=}& 0\\ q_{max} &=& \frac{-2900}{2 \cdot (-25)} = 58 \end{aligned}\]

Die Gesamtproduktionsmenge, die den Erlös optimiert, beträgt \(58.00\) Mbbl Öl.
Die Gesamtkosten im Erlösoptimum errechnen sich durch \[\begin{aligned} C(58) &=& 3.4834\cdot 58^2 + 125 \cdot 58 + 600\\ &=& 19568.1576 \end{aligned}\]

Die Gesamtkosten im Erlösoptimum betragen \(19568.16\) GE.
Die Kosten pro Plattform im Erlösoptimum betragen \(\frac{19568.1576}{21} = 931.82\) GE.

Die Ölfirma Schnell fördert Öl mittels \(8\) identischer Plattformen. Die Ölfirma produziert unter der Kostenfunktion \[\begin{aligned} C(q) &=& 1.7487\cdot q^2 + 25 \cdot q + 525 \end{aligned}\] wobei \(q\) die Gesamtmenge der geförderten Megabarrel (Mbbl) Öl bezeichnet.
Die inverse Nachfragefunktion nach Öl in GE/Mbbl lautet: \(D^{-1}(q) = -2 \cdot q + 1500\).
Wie hoch ist der maximale Erlös?

Die Erlösfunktion lautet: \[\begin{aligned} R(q) = D^{-1}(q) \cdot q = -2 \cdot q^2 + 1500 \cdot q \end{aligned}\]

Das Maximum findet man, indem man die erste Ableitung von \(R\) gleich Null setzt. \[\begin{aligned} R'(q_{max}) = 2 \cdot (-2) \cdot q_{max} + 1500 &\stackrel{!}{=}& 0\\ q_{max} &=& \frac{-1500}{2 \cdot (-2)} = 375 \end{aligned}\]

Die Gesamtproduktionsmenge, die den Erlös optimiert, beträgt \(375.00\) Mbbl Öl.
Der maximale Erlös errechnet sich durch \[\begin{aligned} R(375) &=& -2 \cdot 375^2 + 1500 \cdot 375\\ &=& 281250 \end{aligned}\]

Somit beträgt der maximale Erlös \(281250.00\) GE.

Die Ölfirma Schnell fördert Öl mittels \(33\) identischer Plattformen. Die Ölfirma produziert unter der Kostenfunktion \[\begin{aligned} C(q) &=& 2.8695\cdot q^2 + 75 \cdot q + 375 \end{aligned}\] wobei \(q\) die Gesamtmenge der geförderten Megabarrel (Mbbl) Öl bezeichnet.
Die inverse Nachfragefunktion nach Öl in GE/Mbbl lautet: \(D^{-1}(q) = -25 \cdot q + 2500\).
Wie hoch ist der maximale Erlös?

Die Erlösfunktion lautet: \[\begin{aligned} R(q) = D^{-1}(q) \cdot q = -25 \cdot q^2 + 2500 \cdot q \end{aligned}\]

Das Maximum findet man, indem man die erste Ableitung von \(R\) gleich Null setzt. \[\begin{aligned} R'(q_{max}) = 2 \cdot (-25) \cdot q_{max} + 2500 &\stackrel{!}{=}& 0\\ q_{max} &=& \frac{-2500}{2 \cdot (-25)} = 50 \end{aligned}\]

Die Gesamtproduktionsmenge, die den Erlös optimiert, beträgt \(50.00\) Mbbl Öl.
Der maximale Erlös errechnet sich durch \[\begin{aligned} R(50) &=& -25 \cdot 50^2 + 2500 \cdot 50\\ &=& 62500 \end{aligned}\]

Somit beträgt der maximale Erlös \(62500.00\) GE.

d

Die Ölfirma Schnell fördert Öl mittels \(8\) identischer Plattformen. Die Ölfirma produziert unter der Kostenfunktion \[\begin{aligned} C(q) &=& 0.0024 \cdot q^3 -0.0912 \cdot q^2 + 5 \cdot q + 30 \end{aligned}\] wobei \(q\) die Gesamtmenge der geförderten Megabarrel (Mbbl) Öl bezeichnet.
Bei einem Preis von \(4\) GE/Mbbl beträgt die nachgefragte Menge \(110\) Mbbl. Bei einem Preis von \(26\) GE/Mbbl verschwindet die Nachfrage.
Welche Gesamtproduktionsmenge maximiert den Gewinn?

Zur Berechnung der Nachfragefunktion \(D(p) = -a p + \alpha\) stellen wir zwei Gleichungen auf. \[\begin{aligned} D(4) &=& -a \cdot 4 + \alpha = 110\\ D(26) &=& -a \cdot 26 + \alpha = 0\\ \end{aligned}\]

Nun lösen wir dieses Gleichungssystem indem wir die zweite Gleichung von der Ersten subtrahieren. \[\begin{aligned} -a \cdot 26 + \alpha - (-a \cdot 4 + \alpha) &=& 0 - 110\\ -22 \cdot a &=& -110\\ a &=& 5\\ \end{aligned}\]

Dieses Ergebnis setzen wir nun in die erste Gleichung ein und erhalten den Ordinatenabschnitt \(\alpha\). \[\begin{aligned} -5 \cdot 4 + \alpha &=& 110\\ \alpha &=& 130 \end{aligned}\]

Die Nachfrage nach Öl lautet somit \(D(p) = -5 \cdot p + 130\).
Daraus leiten wir uns die inverse Nachfragefunktion ab: \(D^{-1}(q) = -0.2 \cdot q + 26\).
Die Erlösfunktion lautet: \[\begin{aligned} R(q) = D^{-1}(q) \cdot q = -0.2 \cdot q^2 + 26 \cdot q. \end{aligned}\]

Die Gewinnfunktion lautet: \[\begin{aligned} \pi(q) &=& R(q) - C(q) \\ &=& -0.2 \cdot q^2 + 26 \cdot q - (0.0024 \cdot q^3 -0.0912 \cdot q^2 + 5 \cdot q + 30)\\ &=& -0.0024 q^3 -0.1088 q^2 + 21 q -30 \end{aligned}\]

Das Maximum findet man, indem man die erste Ableitung von \(\pi\) gleich Null setzt. \[\begin{aligned} \pi'(q_{max}) = 3 \cdot (-0.0024) q^2_{max} + 2 \cdot (-0.1088) q_{max} + 21 &\stackrel{!}{=}& 0\\ -0.0072 q^2_{max} -0.2176 q_{max} + 21 &\stackrel{!}{=}& 0\\ \Rightarrow q_{max_1} &=& -71.191521\\ \Rightarrow q_{max_2} &=& 40.969299 \end{aligned}\]

Um zu prüfen, ob die positive Lösung wirklich ein Maximum darstellt, muss die zweite Ableitung in diesem Punkt kleiner Null sein. \[\begin{aligned} \pi''(40.969299) &=& -0.0144 \cdot 40.969299 -0.2176\\ &=& -0.807558 < 0 \end{aligned}\]

Somit handelt es sich tatsächlich um ein Maximum.
Die Gesamtproduktionsmenge, die den Gewinn optimiert, beträgt \(40.97\) Mbbl Öl.

Die Ölfirma Schnell fördert Öl mittels \(6\) identischer Plattformen. Die Ölfirma produziert unter der Kostenfunktion \[\begin{aligned} C(q) &=& 0.0027 \cdot q^3 + 0.0224 \cdot q^2 + 5 \cdot q + 19 \end{aligned}\] wobei \(q\) die Gesamtmenge der geförderten Megabarrel (Mbbl) Öl bezeichnet.
Bei einem Preis von \(2\) GE/Mbbl beträgt die nachgefragte Menge \(94\) Mbbl. Bei einem Preis von \(13.75\) GE/Mbbl verschwindet die Nachfrage.
Wie hoch ist der Gesamterlös im Gewinnoptimum?

Zur Berechnung der Nachfragefunktion \(D(p) = -a p + \alpha\) stellen wir zwei Gleichungen auf. \[\begin{aligned} D(2) &=& -a \cdot 2 + \alpha = 94\\ D(13.75) &=& -a \cdot 13.75 + \alpha = 0\\ \end{aligned}\]

Nun lösen wir dieses Gleichungssystem indem wir die zweite Gleichung von der Ersten subtrahieren. \[\begin{aligned} -a \cdot 13.75 + \alpha - (-a \cdot 2 + \alpha) &=& 0 - 94\\ -11.75 \cdot a &=& -94\\ a &=& 8\\ \end{aligned}\]

Dieses Ergebnis setzen wir nun in die erste Gleichung ein und erhalten den Ordinatenabschnitt \(\alpha\). \[\begin{aligned} -8 \cdot 2 + \alpha &=& 94\\ \alpha &=& 110 \end{aligned}\]

Die Nachfrage nach Öl lautet somit \(D(p) = -8 \cdot p + 110\).
Daraus leiten wir uns die inverse Nachfragefunktion ab: \(D^{-1}(q) = -0.125 \cdot q + 13.75\).
Die Erlösfunktion lautet: \[\begin{aligned} R(q) = D^{-1}(q) \cdot q = -0.125 \cdot q^2 + 13.75 \cdot q. \end{aligned}\]

Die Gewinnfunktion lautet: \[\begin{aligned} \pi(q) &=& R(q) - C(q) \\ &=& -0.125 \cdot q^2 + 13.75 \cdot q - (0.0027 \cdot q^3 + 0.0224 \cdot q^2 + 5 \cdot q + 19)\\ &=& -0.0027 q^3 -0.1474 q^2 + 8.75 q -19 \end{aligned}\]

Das Maximum findet man, indem man die erste Ableitung von \(\pi\) gleich Null setzt. \[\begin{aligned} \pi'(q_{max}) = 3 \cdot (-0.0027) q^2_{max} + 2 \cdot (-0.1474) q_{max} + 8.75 &\stackrel{!}{=}& 0\\ -0.0081 q^2_{max} -0.2948 q_{max} + 8.75 &\stackrel{!}{=}& 0\\ \Rightarrow q_{max_1} &=& -55.766095\\ \Rightarrow q_{max_2} &=& 19.371034 \end{aligned}\]

Um zu prüfen, ob die positive Lösung wirklich ein Maximum darstellt, muss die zweite Ableitung in diesem Punkt kleiner Null sein. \[\begin{aligned} \pi''(19.371034) &=& -0.0162 \cdot 19.371034 -0.2948\\ &=& -0.608611 < 0 \end{aligned}\]

Somit handelt es sich tatsächlich um ein Maximum.
Die Gesamtproduktionsmenge, die den Gewinn optimiert, beträgt \(19.37\) Mbbl Öl.
Der Gesamterlös im Gewinnoptimum beträgt damit \[\begin{aligned} R(19.371034) &=& -0.125 \cdot 19.371034^2 + 13.75\cdot 19.371034\\ &=& 219.447095 \end{aligned}\]

Damit beträgt der Gesamterlös im Gewinnoptimum \(219.45\) GE.

Die Ölfirma Schnell fördert Öl mittels \(13\) identischer Plattformen. Die Ölfirma produziert unter der Kostenfunktion \[\begin{aligned} C(q) &=& 0.0042 \cdot q^3 + 0.1032 \cdot q^2 + 5 \cdot q + 34 \end{aligned}\] wobei \(q\) die Gesamtmenge der geförderten Megabarrel (Mbbl) Öl bezeichnet.
Bei einem Preis von \(5.5\) GE/Mbbl beträgt die nachgefragte Menge \(176\) Mbbl. Bei einem Preis von \(27.5\) GE/Mbbl verschwindet die Nachfrage.
Wie hoch sind die Gesamtkosten im Gewinnoptimum?

Zur Berechnung der Nachfragefunktion \(D(p) = -a p + \alpha\) stellen wir zwei Gleichungen auf. \[\begin{aligned} D(5.5) &=& -a \cdot 5.5 + \alpha = 176\\ D(27.5) &=& -a \cdot 27.5 + \alpha = 0\\ \end{aligned}\]

Nun lösen wir dieses Gleichungssystem indem wir die zweite Gleichung von der Ersten subtrahieren. \[\begin{aligned} -a \cdot 27.5 + \alpha - (-a \cdot 5.5 + \alpha) &=& 0 - 176\\ -22 \cdot a &=& -176\\ a &=& 8\\ \end{aligned}\]

Dieses Ergebnis setzen wir nun in die erste Gleichung ein und erhalten den Ordinatenabschnitt \(\alpha\). \[\begin{aligned} -8 \cdot 5.5 + \alpha &=& 176\\ \alpha &=& 220 \end{aligned}\]

Die Nachfrage nach Öl lautet somit \(D(p) = -8 \cdot p + 220\).
Daraus leiten wir uns die inverse Nachfragefunktion ab: \(D^{-1}(q) = -0.125 \cdot q + 27.5\).
Die Erlösfunktion lautet: \[\begin{aligned} R(q) = D^{-1}(q) \cdot q = -0.125 \cdot q^2 + 27.5 \cdot q. \end{aligned}\]

Die Gewinnfunktion lautet: \[\begin{aligned} \pi(q) &=& R(q) - C(q) \\ &=& -0.125 \cdot q^2 + 27.5 \cdot q - (0.0042 \cdot q^3 + 0.1032 \cdot q^2 + 5 \cdot q + 34)\\ &=& -0.0042 q^3 -0.2282 q^2 + 22.5 q -34 \end{aligned}\]

Das Maximum findet man, indem man die erste Ableitung von \(\pi\) gleich Null setzt. \[\begin{aligned} \pi'(q_{max}) = 3 \cdot (-0.0042) q^2_{max} + 2 \cdot (-0.2282) q_{max} + 22.5 &\stackrel{!}{=}& 0\\ -0.0126 q^2_{max} -0.4564 q_{max} + 22.5 &\stackrel{!}{=}& 0\\ \Rightarrow q_{max_1} &=& -64.086394\\ \Rightarrow q_{max_2} &=& 27.864172 \end{aligned}\]

Um zu prüfen, ob die positive Lösung wirklich ein Maximum darstellt, muss die zweite Ableitung in diesem Punkt kleiner Null sein. \[\begin{aligned} \pi''(27.864172) &=& -0.0252 \cdot 27.864172 -0.4564\\ &=& -1.158577 < 0 \end{aligned}\]

Somit handelt es sich tatsächlich um ein Maximum.
Die Gesamtproduktionsmenge, die den Gewinn optimiert, beträgt \(27.86\) Mbbl Öl.
Die Gesamtkosten im Gewinnoptimum errechnen sich durch \[\begin{aligned} C(27.864172) = 0.0042 \cdot 27.864172^3 + 0.1032 \cdot 27.864172^2 + 5 \cdot 27.864172 + 34 &=& 344.309716 \end{aligned}\]

Die Gesamtkosten im Gewinnoptimum betragen \(344.31\) GE.

Arithmetische Folgen

a

Jemand kauft ein Pferd unter der Bedingung, dass er für den ersten Hufnagel \(27\) GE und dann immer \(12\) GE mehr für jeden weiteren Nagel bezahlen soll (also \(39\) für den zweiten, \(51\) für den dritten, usw.). Insgesamt sind es \(38\) Hufnägel. Wie viel muss er für das Pferd bezahlen?

Wenn die Kosten für den \(n\)-ten Nagel mit \(a_n\) bezeichnet werden, dann bilden diese \(a_n\) offenbar eine arithmetische Folge. Das erste Folgenglied ist \(a_1 = 27\), der Abstand zwischen zwei benachbarten Folgengliedern ist immer \(12\), und damit ist \(a_n = 27 + (n-1) \cdot 12\).

Die gesamten Kosten betragen nun \[\begin{aligned} s_{38} & = & a_1 + a_2 + \dots + a_{38} \\ & = & 38 \cdot \frac{a_1 + a_{38}}{2} \\ & = & 38 \cdot \frac{27 + 27 + (38 - 1) \cdot 12}{2} ~=~ 9462 \end{aligned}\] Die Gesamtkosten für das Pferd betragen \(9462.00\) GE.

Jemand kauft ein Pferd unter der Bedingung, dass er für den ersten Hufnagel \(12\) GE und dann immer \(14\) GE mehr für jeden weiteren Nagel bezahlen soll (also \(26\) für den zweiten, \(40\) für den dritten, usw.). Insgesamt sind es \(31\) Hufnägel. Wie viel muss er für das Pferd bezahlen?

Wenn die Kosten für den \(n\)-ten Nagel mit \(a_n\) bezeichnet werden, dann bilden diese \(a_n\) offenbar eine arithmetische Folge. Das erste Folgenglied ist \(a_1 = 12\), der Abstand zwischen zwei benachbarten Folgengliedern ist immer \(14\), und damit ist \(a_n = 12 + (n-1) \cdot 14\).

Die gesamten Kosten betragen nun \[\begin{aligned} s_{31} & = & a_1 + a_2 + \dots + a_{31} \\ & = & 31 \cdot \frac{a_1 + a_{31}}{2} \\ & = & 31 \cdot \frac{12 + 12 + (31 - 1) \cdot 14}{2} ~=~ 6882 \end{aligned}\] Die Gesamtkosten für das Pferd betragen \(6882.00\) GE.

Jemand kauft ein Pferd unter der Bedingung, dass er für den ersten Hufnagel \(26\) GE und dann immer \(6\) GE mehr für jeden weiteren Nagel bezahlen soll (also \(32\) für den zweiten, \(38\) für den dritten, usw.). Insgesamt sind es \(39\) Hufnägel. Wie viel muss er für das Pferd bezahlen?

Wenn die Kosten für den \(n\)-ten Nagel mit \(a_n\) bezeichnet werden, dann bilden diese \(a_n\) offenbar eine arithmetische Folge. Das erste Folgenglied ist \(a_1 = 26\), der Abstand zwischen zwei benachbarten Folgengliedern ist immer \(6\), und damit ist \(a_n = 26 + (n-1) \cdot 6\).

Die gesamten Kosten betragen nun \[\begin{aligned} s_{39} & = & a_1 + a_2 + \dots + a_{39} \\ & = & 39 \cdot \frac{a_1 + a_{39}}{2} \\ & = & 39 \cdot \frac{26 + 26 + (39 - 1) \cdot 6}{2} ~=~ 5460 \end{aligned}\] Die Gesamtkosten für das Pferd betragen \(5460.00\) GE.

b

Ein Wirtschaftsgut im Wert von \(179385\) GE soll innerhalb von \(12\) Jahren arithmetisch degressiv abgeschrieben werden. Berechnen Sie den \(5\). Abschreibungsbetrag.

Die \(n = 12\) Abschreibungsbeträge bilden eine fallende arithmetische Folge, wobei \(a_1=12d\), \(a_2=11d\), …, \(a_{12} = d\). Die Summe der Abschreibungsbeträge muss dem Gesamtwert entsprechen. Dabei gilt allgemein: \[\begin{aligned} s_n & = & \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \end{aligned}\] Angewendet auf dieses Beispiel erhält man: \[\begin{aligned} 179385 & = & \frac{12}{2} \cdot(a_1 + a_{12}) = \frac{12}{2} \cdot (12d + d) \\ & = & \frac{12^2+12}{2} \cdot d \end{aligned}\] Somit ergibt sich: \[\begin{aligned} d & = & \frac{2 \cdot 179385}{12^2 + 12} ~=~ 2299.807692 \end{aligned}\] Der \(5\). Abschreibungsbetrag berechnet sich als \[\begin{aligned} a_{5} & =& 8 \cdot d ~=~ 18398.461538 \end{aligned}\] Der \(5\). Abschreibungsbetrag beträgt somit \(18398.46\) GE.

Ein Wirtschaftsgut im Wert von \(266916\) GE soll innerhalb von \(9\) Jahren arithmetisch degressiv abgeschrieben werden. Berechnen Sie den \(8\). Abschreibungsbetrag.

Die \(n = 9\) Abschreibungsbeträge bilden eine fallende arithmetische Folge, wobei \(a_1=9d\), \(a_2=8d\), …, \(a_{9} = d\). Die Summe der Abschreibungsbeträge muss dem Gesamtwert entsprechen. Dabei gilt allgemein: \[\begin{aligned} s_n & = & \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \end{aligned}\] Angewendet auf dieses Beispiel erhält man: \[\begin{aligned} 266916 & = & \frac{9}{2} \cdot(a_1 + a_{9}) = \frac{9}{2} \cdot (9d + d) \\ & = & \frac{9^2+9}{2} \cdot d \end{aligned}\] Somit ergibt sich: \[\begin{aligned} d & = & \frac{2 \cdot 266916}{9^2 + 9} ~=~ 5931.466667 \end{aligned}\] Der \(8\). Abschreibungsbetrag berechnet sich als \[\begin{aligned} a_{8} & =& 2 \cdot d ~=~ 11862.933333 \end{aligned}\] Der \(8\). Abschreibungsbetrag beträgt somit \(11862.93\) GE.

Ein Wirtschaftsgut im Wert von \(256804\) GE soll innerhalb von \(11\) Jahren arithmetisch degressiv abgeschrieben werden. Berechnen Sie den \(7\). Abschreibungsbetrag.

Die \(n = 11\) Abschreibungsbeträge bilden eine fallende arithmetische Folge, wobei \(a_1=11d\), \(a_2=10d\), …, \(a_{11} = d\). Die Summe der Abschreibungsbeträge muss dem Gesamtwert entsprechen. Dabei gilt allgemein: \[\begin{aligned} s_n & = & \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \end{aligned}\] Angewendet auf dieses Beispiel erhält man: \[\begin{aligned} 256804 & = & \frac{11}{2} \cdot(a_1 + a_{11}) = \frac{11}{2} \cdot (11d + d) \\ & = & \frac{11^2+11}{2} \cdot d \end{aligned}\] Somit ergibt sich: \[\begin{aligned} d & = & \frac{2 \cdot 256804}{11^2 + 11} ~=~ 3890.969697 \end{aligned}\] Der \(7\). Abschreibungsbetrag berechnet sich als \[\begin{aligned} a_{7} & =& 5 \cdot d ~=~ 19454.848485 \end{aligned}\] Der \(7\). Abschreibungsbetrag beträgt somit \(19454.85\) GE.

c

In einer Gemeinde fallen im ersten Jahr nach der Fertigstellung einer Mülldeponie, die Raum für insgesamt \(411000 \, m^3\) Müll bietet, \(3800 \, m^3\) Müll an. In jedem weiteren Jahr steigt der produzierte Müll um jeweils \(100 \, m^3\) an (im zweiten Jahr fallen also \(3900 \, m^3\) an, im dritten Jahr \(4000 \, m^3\), usw.)
Nach wie vielen Jahren muss die Deponie geschlossen werden?

Die anfallende Müllmenge bildet eine arithmetische Folge mit \[\begin{aligned} a_1 = 3800, \, a_2 = 3900, \, \ldots, \, a_n = 3800 + (n-1) \cdot 100 \end{aligned}\]

Somit beträgt die gesamte Müllmenge nach \(n\) Jahren \[\begin{aligned} s_n & = & a_1 + \dots + a_n ~=~ n \cdot \frac{a_1 + a_n}{2} \\ & = & n \cdot \frac{3800 + \left[3800 + (n - 1) \cdot 100\right]}{2} \\ & = & 50 n^2 + 3750 n \end{aligned}\] Um zu berechnen, nach wie vielen Jahren so viel Müll angefallen sein wird, dass die Deponie voll ist, betrachten wir die Gleichung \[\begin{aligned} s_n & = & 411000\\ 50 n^2 + 3750 n - 411000 & = & 0 \end{aligned}\] Diese quadratische Gleichung besitzt die beiden Lösungen \[\begin{aligned} n_{1} = \frac{-3750 + \sqrt{3750^2 - 4 \cdot 50 \cdot (-411000)}}{2 \cdot 50} = 60.613455 \end{aligned}\] und \[\begin{aligned} n_{2} = \frac{-3750 - \sqrt{3750^2 - 4 \cdot 50 \cdot (-411000)}}{2 \cdot 50} = -135.613455 \end{aligned}\] Die zweite, negative Lösung scheidet jedoch aus. Somit muss die Deponie nach \(60.61\) Jahren geschlossen werden.

In einer Gemeinde fallen im ersten Jahr nach der Fertigstellung einer Mülldeponie, die Raum für insgesamt \(103000 \, m^3\) Müll bietet, \(2100 \, m^3\) Müll an. In jedem weiteren Jahr steigt der produzierte Müll um jeweils \(330 \, m^3\) an (im zweiten Jahr fallen also \(2430 \, m^3\) an, im dritten Jahr \(2760 \, m^3\), usw.)
Nach wie vielen Jahren muss die Deponie geschlossen werden?

Die anfallende Müllmenge bildet eine arithmetische Folge mit \[\begin{aligned} a_1 = 2100, \, a_2 = 2430, \, \ldots, \, a_n = 2100 + (n-1) \cdot 330 \end{aligned}\]

Somit beträgt die gesamte Müllmenge nach \(n\) Jahren \[\begin{aligned} s_n & = & a_1 + \dots + a_n ~=~ n \cdot \frac{a_1 + a_n}{2} \\ & = & n \cdot \frac{2100 + \left[2100 + (n - 1) \cdot 330\right]}{2} \\ & = & 165 n^2 + 1935 n \end{aligned}\] Um zu berechnen, nach wie vielen Jahren so viel Müll angefallen sein wird, dass die Deponie voll ist, betrachten wir die Gleichung \[\begin{aligned} s_n & = & 103000\\ 165 n^2 + 1935 n - 103000 & = & 0 \end{aligned}\] Diese quadratische Gleichung besitzt die beiden Lösungen \[\begin{aligned} n_{1} = \frac{-1935 + \sqrt{1935^2 - 4 \cdot 165 \cdot (-103000)}}{2 \cdot 165} = 19.800047 \end{aligned}\] und \[\begin{aligned} n_{2} = \frac{-1935 - \sqrt{1935^2 - 4 \cdot 165 \cdot (-103000)}}{2 \cdot 165} = -31.52732 \end{aligned}\] Die zweite, negative Lösung scheidet jedoch aus. Somit muss die Deponie nach \(19.80\) Jahren geschlossen werden.

In einer Gemeinde fallen im ersten Jahr nach der Fertigstellung einer Mülldeponie, die Raum für insgesamt \(454000 \, m^3\) Müll bietet, \(4000 \, m^3\) Müll an. In jedem weiteren Jahr steigt der produzierte Müll um jeweils \(280 \, m^3\) an (im zweiten Jahr fallen also \(4280 \, m^3\) an, im dritten Jahr \(4560 \, m^3\), usw.)
Nach wie vielen Jahren muss die Deponie geschlossen werden?

Die anfallende Müllmenge bildet eine arithmetische Folge mit \[\begin{aligned} a_1 = 4000, \, a_2 = 4280, \, \ldots, \, a_n = 4000 + (n-1) \cdot 280 \end{aligned}\]

Somit beträgt die gesamte Müllmenge nach \(n\) Jahren \[\begin{aligned} s_n & = & a_1 + \dots + a_n ~=~ n \cdot \frac{a_1 + a_n}{2} \\ & = & n \cdot \frac{4000 + \left[4000 + (n - 1) \cdot 280\right]}{2} \\ & = & 140 n^2 + 3860 n \end{aligned}\] Um zu berechnen, nach wie vielen Jahren so viel Müll angefallen sein wird, dass die Deponie voll ist, betrachten wir die Gleichung \[\begin{aligned} s_n & = & 454000\\ 140 n^2 + 3860 n - 454000 & = & 0 \end{aligned}\] Diese quadratische Gleichung besitzt die beiden Lösungen \[\begin{aligned} n_{1} = \frac{-3860 + \sqrt{3860^2 - 4 \cdot 140 \cdot (-454000)}}{2 \cdot 140} = 44.805267 \end{aligned}\] und \[\begin{aligned} n_{2} = \frac{-3860 - \sqrt{3860^2 - 4 \cdot 140 \cdot (-454000)}}{2 \cdot 140} = -72.376695 \end{aligned}\] Die zweite, negative Lösung scheidet jedoch aus. Somit muss die Deponie nach \(44.81\) Jahren geschlossen werden.