Woche 1

Überblick

Thema	Inhalte	Folien	Video	Buch	Training
1	Lineare Funktionen	1-9	1a-b	1.1	1.1
	Quadratische Funktionen	10-15	1c-d	1.2	1.2
	Exponentialfunktion und Logarithmus	16-34	1e-h	2.6	2.6
					Quiz

Lineare Funktionen

1a

1b

Quadratische Funktionen

1c

1d

Exponentialfunktion und Logarithmus

1e

1f

1g

1h

Quiz

a

Welche Aussagen bezüglich Exponentialfunktionen mit der Form \(f(x) = A \cdot a^x\) sind richtig?

Eine Exponentialfunktion mit \(A > 0\) ist immer konvex.Der Graph geht immer durch den Punkt \((0, 1)\).Wenn \(A > 0\) und \(0 < a < 1\) besitzt der Graph eine negative Steigung in allen Punkten.Wenn \(A > 0\) nimmt die Funktion nur positive Werte an.Die Funktion ist an der Stelle \(x = 0\) nicht definiert.

Details zur Exponentialfunktion werden auf den VO-Folien im Abschnitt Exponentialfunktion und Logarithmus vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 2.6.

• Richtig. Wenn \(A > 0\) ist \(f(x) = A \cdot a^x\) nach oben offen.
• Falsch. Es gilt \(f(0) = A \cdot a^0 = A\). Es gilt \(f(0) = 1\) nur wenn \(A = 1\).
• Richtig. Wenn \(0 < a < 1\) ist \(a^x\) streng monoton fallend.
• Richtig. Für \(a > 0\) ist auch \(a^x > 0\). Und damit ist bei \(A > 0\) auch \(f(x) = A \cdot a^x > 0\).
• Falsch. Es gilt immer \(f(0) = A \cdot a^0 = A\). Die Funktion besitzt also an der Stelle \(x = 0\) einen eindeutigen Wert.

b

Welche Aussagen bezüglich Exponentialfunktionen mit der Form \(f(x) = a^x\) sind richtig?

Wenn \(a < 1\) und \(x \rightarrow \infty\), dann \(f(x) \rightarrow 0\).Der Graph geht immer durch den Punkt \((0, 1)\).Wenn \(f(x) = 1\), dann gilt \(f(x + 1) = a\).Wenn \(x\) um eine Einheit steigt, wächst \(f(x)\) um den Faktor \(a\).Die Funktion kann auch geschrieben werden als \(e^{c \cdot x}\), falls \(c = a - 1\).

Details zur Exponentialfunktion werden auf den VO-Folien im Abschnitt Exponentialfunktion und Logarithmus vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 2.6.

• Richtig. Wenn \(a < 1\) ist \(f(x)\) streng monoton fallend und nähert sich für \(x \rightarrow \infty\) asymptotisch der x-Achse.
• Richtig. Es gilt immer \(a^0 = 1\).
• Richtig. Die relative Änderung auf einem Intervall der Länge \(1\) ist konstant. Wenn \(f(x) = 1\), dann gilt \(f(x+1) = 1 \cdot a\).
• Richtig. Die relative Änderung auf einem Intervall der Länge \(1\) ist konstant. Es gilt \(f(x+1) = a^{x + 1} = a^x \cdot a = f(x) \cdot a\).
• Falsch. Die Funktion kann auch geschrieben werden als \(e^{c \cdot x}\), falls \(c = \ln(a)\).

c

Ein Unternehmen rechnet für die Produktion eines neuen Produkts mit variablen Kosten pro Stück von 63 GE und Fixkosten in dem gesuchten Zeitraum von 194800 GE. Pro Monat werden 680 Stück hergestellt.

Wie teuer soll die Ware verkauft werden, wenn man nach 8 Monaten einen Gewinn von 104400 GE erwirtschaftet haben will?

d

Die Bevölkerung eines Entwicklungslandes wuchs zwischen \(1982\) und \(2000\) von \(0.2\) Millionen auf \(0.5\) Millionen. Gehen Sie von einem gleichbleibenden exponentiellen Wachstum aus und bestimmen Sie die folgenden Größen:

Jährlicher Wachstumsfaktor:

Jährliche relative Wachstumsrate (in Prozent):

Nominelle relative Wachstumsrate (in Prozent):

Bevölkerung zum Jahr \(2033\) (in Millionen):

Wie viele Jahre nach \(1982\) erreicht die Bevölkerung \(2.7\) Millionen?