7 Matrixalgebra

Baustelle

Die interaktiven Trainingsaufgaben befinden sich noch im Aufbau. Im Laufe des Studienjahrs 2023/24 werden begleitend zu den Kursen an der Universität Innsbruck noch viele weitere Aufgaben ergänzt werden.

Grundbegriffe

Gegeben seien die Matrizen \[\mathbf{A} = \left( \begin{array}{rrr} -4 & -10 & 5 \\ 11 & -5 & -9 \\ 13 & 17 & -3 \\ 8 & -7 & 12 \end{array} \right),~\mathbf{B} = \left( \begin{array}{rrr} 11 & 14 & -1 \\ 0 & -4 & 16 \\ -20 & 7 & 12 \\ -10 & 3 & 17 \end{array} \right)\] Bestimmen Sie \(\mathbf{C} = \mathbf{A-B}\) und markieren Sie die korrekten Aussagen an.

  • \(c_{12} \ge 26\)
  • \(c_{41} > -30\)
  • \(c_{31} \ge 33\)
  • \(c_{13} < 6\)
  • \(c_{21} < 11\)

Die Lösungsgleichung lautet \(\mathbf{C} = \mathbf{A-B}\mathbf{}\), hieraus folgt die gesuchte Matrix \[\mathbf{C} = \left( \begin{array}{rrr} -15 & -24 & 6 \\ 11 & -1 & -25 \\ 33 & 10 & -15 \\ 18 & -10 & -5 \end{array} \right).\]

  • Falsch. \(c_{12} = -24 \ngeq 26\)
  • Richtig. \(c_{41} = 18\)
  • Richtig. \(c_{31} = 33\)
  • Falsch. \(c_{13} = 6 \nless 6\)
  • Falsch. \(c_{21} = 11 \nless 11\)

Bestimmen Sie \(\mathbf{D}\) so, dass  \(\frac{1}{2} \left(5\mathbf{A} - 3\mathbf{D}\right) + 10\mathbf{B} = \mathbf{D} + 15\mathbf{C}\)  und markieren Sie alle richtigen Antworten. \[\begin{aligned} \mathbf{A} = \left( \begin{array}{rrrrr} -1 & 3 & -3 & -3 & -2 \\ 0 & -5 & 3 & 5 & -5 \\ -3 & 5 & 3 & -2 & 2 \end{array} \right),~\mathbf{B} = \left( \begin{array}{rrrrr} 3 & 5 & -4 & -4 & -2 \\ -2 & -4 & -3 & 3 & 5 \\ 0 & 5 & -5 & 0 & -5 \end{array} \right),~\mathbf{C} = \left( \begin{array}{rrrrr} 10 & 5 & 1 & 3 & 1 \\ 9 & 7 & -3 & 2 & 8 \\ 10 & 10 & 5 & -2 & 8 \end{array} \right). \end{aligned}\]

  • \(d_{24} = 5\)
  • \(d_{35} \ge -66\)
  • \(d_{22} < -63\)
  • \(d_{32} < -35\)
  • \(d_{11} \ge -1\)

Die Gleichung lässt sich wie folgt vereinfachen \[\begin{aligned} \mathbf{D} & = & \frac{2}{5} \left(\frac{5}{2} \cdot \mathbf{A} + 10\mathbf{B} - 15\mathbf{C} \right)\\ & = & 1 \mathbf{A} + 4 \mathbf{B} - 6 \mathbf{C}.\\ \end{aligned}\] Die gesuchte Matrix lautet also \[\mathbf{D} = \left( \begin{array}{rrrrr} -49 & -7 & -25 & -37 & -16 \\ -62 & -63 & 9 & 5 & -33 \\ -63 & -35 & -47 & 10 & -66 \end{array} \right).\]

  • Richtig. \(d_{24} = 5\)
  • Richtig. \(d_{35} = -66\)
  • Falsch. \(d_{22} = -63 \nless -63\)
  • Falsch. \(d_{32} = -35 \nless -35\)
  • Falsch. \(d_{11} = -49 \ngeq -1\)

Die Matrixmultiplikation

Gegeben seien die Matrizen \(\mathbf{A}\) und \(\mathbf{B}\):

\[ \mathbf{A} = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 4 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 5 & -5 \end{array} \right),\; \mathbf{B} = \left( \begin{array}{rr} 3 & 3 \\ -5 & -5 \\ -4 & 2 \end{array} \right). \]

Berechnen Sie die Matrix \(\mathbf{C} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A}\) mit Hilfe des Falk-Schemas.

Das Produkt einer \(3 \times 2\) Matrix \(\mathbf{B}\) und einer \(2 \times 4\) Matrix \(\mathbf{A}\) ergibt eine \(3 \times 4\) Matrix \(\mathbf{C}\).

Die Elemente dieser Matrix \(\mathbf{C}\) sind für \(1 \leq i \leq 3\) und \(1 \leq j \leq 4\) gegeben durch \[\begin{eqnarray*} c_{ij} &= &b_{i1} \cdot a_{1j} + b_{i2} \cdot a_{2j} + b_{i3} \cdot a_{3j}. \end{eqnarray*}\]

Mit Hilfe des Falk Schemas für die Matrixmultiplikation \(\mathbf{C} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A}\) \[ \begin{array}{rr|rrrr} & & 1 & 4 & -1 & 1 \\ & & 2 & -1 & 5 & -5 \\ \hline 3 & 3 & 9 & 9 & 12 & -12 \\ -5 & -5 & -15 & -15 & -20 & 20 \\ -4 & 2 & 0 & -18 & 14 & -14 \\ \end{array} \] erhält man \[\begin{eqnarray*} \mathbf{C} &= & \left( \begin{array}{rrrr} 9 & 9 & 12 & -12 \\ -15 & -15 & -20 & 20 \\ 0 & -18 & 14 & -14 \end{array} \right). \end{eqnarray*}\]

Gegeben seien die Matrizen \(\mathbf{A}\) und \(\mathbf{B}\) wie folgt:
\[\mathbf{A} = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & -3 & -1 & 5 \\ -1 & 2 & 3 & -5 \\ -2 & -3 & 2 & 0 \\ 4 & -1 & 4 & -5 \\ -2 & -5 & 2 & 4 \end{array} \right),~\mathbf{B} = \left( \begin{array}{rrr} 3 & -5 & 5 \\ 4 & 3 & -2 \\ 1 & -4 & -5 \\ 3 & -3 & -5 \end{array} \right).\] Die Matrix \(\mathbf{C}\) sei definiert durch \(\mathbf{C} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\). Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

  • \(c_{11} > 6\)
  • \(c_{42} < -24\)
  • \(c_{53} \le -30\)
  • \(c_{43} < 1\)
  • Die Matrix \(\mathbf{C}\) ist quadratisch

Das Produkt einer \(5 \times 4\) Matrix \(\mathbf{A}\) und einer \(4 \times 3\) Matrix \(\mathbf{B}\) ergibt eine \(5 \times 3\) Matrix \(\mathbf{C}\). Die Elemente dieser Matrix \(\mathbf{C}\) sind für \(1 \leq i \leq 5\) und \(1 \leq j \leq 3\) gegeben durch \[\begin{aligned} c_{ij} &= &a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j} + a_{i3}b_{3j}+a_{i4}b_{4j}. \end{aligned}\]

Damit erhält man \[\begin{aligned} \mathbf{C} &= &\left( \begin{array}{rrr} 5 & -25 & -9 \\ -7 & 14 & 1 \\ -16 & -7 & -14 \\ -3 & -24 & 27 \\ -12 & -25 & -30 \end{array} \right). \end{aligned}\]

  • Falsch. \(c_{11} = 5 \ngtr 6\)
  • Falsch. \(c_{42} = -24 \nless -24\)
  • Richtig. \(c_{53} = -30\)
  • Falsch. \(c_{43} = 27 \nless 1\)
  • Falsch. \(\mathbf{C}\) ist eine \(5 \times 3\) Matrix und deshalb nicht quadratisch

Bedarfsplanung

Ein Unternehmen fertigt unter anderem elektronische Baugruppen \(B_1\), \(B_2\) und \(B_3\).
Dazu werden Kondensatoren \(C\) und Widerstände \(R\) benötigt. Pro elektronischer Baugruppe von \(B_1\) werden \(11\) Stück von \(C\) und \(5\) Stück von \(R\) benötigt. Eine Einheit von \(B_2\) setzt sich aus \(7\) Stück \(C\) und \(19\) Stück \(R\) zusammen. \(B_3\) besteht aus \(1\) Stück \(C\) und \(2\) Stück \(R\). Es sind \(2400\) Stück von \(C\) und \(2800\) Stück von \(R\) auf Lager. Ein Auftrag sieht vor, \(125\) Stück von \(B_1\), \(75\) Stück von \(B_2\) und \(50\) Stück von \(B_3\) zu liefern.
Berechnen Sie den Restlagerbestand von \(C\) und \(R\) nach Ausführung des Auftrages.

Wie hoch ist dieser Restlagerbestand von Widerständen \(R\)?

Die Informationen der Angabe können in folgender Tabelle zusammengefasst werden

\(B_1\) \(B_2\) \(B_3\) Lager
\(C\) \(11\) \(7\) \(1\) \(2400\)
\(R\) \(5\) \(19\) \(2\) \(2800\)

Es sei A die Bedarfsmatrix, x der Outputvektor und b der Inputvektor.
Die Grundgleichung lautet \(\mathbf{Ax = b}\), und in Zahlen:
 
\[\begin{aligned} \mathbf{b} = \left( \begin{array}{rrr} 11 & 7 & 1 \\ 5 & 19 & 2 \end{array} \right) \ \left( \begin{array}{r} 125 \\ 75 \\ 50 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 1950 \\ 2150 \end{array} \right) \end{aligned}\]  
Der Anfangsbestand beträgt: \[\begin{aligned} \mathbf{a} = \left( \begin{array}{r} 2400 \\ 2800 \end{array} \right) \end{aligned}\] Der Restlagerbestand nach Ausführung des Auftrages beträgt damit: \[\begin{aligned} \mathbf{e = a - b} = \left( \begin{array}{r} 2400 \\ 2800 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{r} 1950 \\ 2150 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 450 \\ 650 \end{array} \right) \end{aligned}\] Der Restlagerbestand an Widerständen \(R\) beträgt damit \(650.00\).

Ein Hersteller produziert zwei Produkte \(B_1\) und \(B_2\). Er benötigt dazu die Rohstoffe Eisen, Holz und Porzellan. Die Produktion erfolgt in zwei verschiedenen Produktionsstätten \(S_1\) und \(S_2\), an welchen unterschiedliche Rohstoffpreise herrschen. Der Bedarf an Rohstoffen sowie deren Preise \(S_1\) und \(S_2\) sind gegeben durch:

Produkt Preise in
\(B_1\) \(B_2\) \(S_1\) \(S_2\)
Eisen \(3\) \(2\) \(9\) \(6\)
Holz \(6\) \(6\) \(5\) \(9\)
Porzellan \(1\) \(1\) \(2\) \(5\)

Ein Auftrag sieht vor, von \(B_1\) \(200\) Stück und von \(B_2\) \(300\) Stück zu liefern. Berechnen Sie die gesamten Produktionskosten dieses Auftrags jeweils an den Standorten \(S_1\) und \(S_2\).

Um welche Differenz sind die Produktionskosten in \(S_2\) höher sind als in \(S_1\)?

Die Bedarfsmatrix lautet: \[\begin{aligned} \mathbf{M} = \left( \begin{array}{rr} 3 & 2 \\ 6 & 6 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \end{aligned}\] Die Preisvektoren lauten \[\begin{aligned} \mathbf{p_1}^\top = \left( \begin{array}{rrr} 9 & 5 & 2 \end{array} \right), \,\,\,\,\,\, \mathbf{p_2}^\top = \left( \begin{array}{rrr} 6 & 9 & 5 \end{array} \right) \end{aligned}\] Die Produktionskosten an den beiden Standorten ergeben sich dann wie folgt: \[\begin{aligned} \mathbf{c_1}^\top &= &\mathbf{p_1}^\top \cdot \mathbf{M} = \left( \begin{array}{rrr} 9 & 5 & 2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{rr} 3 & 2 \\ 6 & 6 \\ 1 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} 59 & 50 \end{array} \right) \\ \mathbf{c_2}^\top &= &\mathbf{p_2}^\top \cdot \mathbf{M} = \left( \begin{array}{rrr} 6 & 9 & 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{rr} 3 & 2 \\ 6 & 6 \\ 1 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} 77 & 71 \end{array} \right) \end{aligned}\] Mit Hilfe des Outputvektors \[\begin{aligned} \mathbf{b} = \left( \begin{array}{r} 200 \\ 300 \end{array} \right) \end{aligned}\] erhält man schließlich die Gesamtkosten an den beiden Standorten: \[\begin{aligned} K_1 &= &\left(\mathbf{p_1}^\top \cdot \mathbf{M} \right) \cdot \mathbf{b} = \left( \begin{array}{rr} 59 & 50 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{r} 200 \\ 300 \end{array} \right) = 26800 \\ K_2 &= &\left(\mathbf{p_2}^\top \cdot \mathbf{M} \right) \cdot \mathbf{b} = \left( \begin{array}{rr} 77 & 71 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{r} 200 \\ 300 \end{array} \right) = 36700 \end{aligned}\] Die Differenz zwischen den Gesamtkosten der beiden Standorte beträgt: \[\begin{aligned} \Delta K = K_2 - K_1 = 36700 - 26800 = 9900.00 \end{aligned}\]

Ein Unternehmen stellt aus den beiden Anfangsprodukten \(A_1\) und \(A_2\) die drei Endprodukte \(E_1\), \(E_2\) und \(E_3\) her. Der Bedarf an Anfangsprodukten pro Einheit eines fertigen Endprodukts sowie der Lagerbestand an \(A_1\) und \(A_2\) sind der folgenden Tabelle zu entnehmen:

\(E_1\) \(E_2\) \(E_3\) Lager
\(A_1\) \(6\) \(4\) \(5\) \(1750\)
\(A_2\) \(5\) \(3\) \(7\) \(1820\)

Ein Auftrag sieht vor, \(100\) Stück von \(E_1\), \(130\) Stück von \(E_2\) und \(110\) Stück von \(E_3\) zu liefern. Kreuzen Sie alle richtigen Antworten an.

  • Für diesen Auftrag werden \(1720\) Stück von \(A_{1}\) benötigt
  • Der Endbestand von \(A_1\) beträgt \(60\)
  • Der Endbestand von \(A_2\) beträgt \(170\)
  • Der Auftrag kann mit den vorhandenen Lagerbeständen ausgeführt werden
  • Der Lagerbestand von \(A_{1}\) reicht für diesen Auftrag nicht aus

Die Bedarfsmatrix lautet \[\begin{aligned} \mathbf{A} = \left( \begin{array}{rrr} 6 & 4 & 5 \\ 5 & 3 & 7 \end{array} \right), \end{aligned}\] der Outputvektor lautet \[\begin{aligned} \mathbf{x} = \left( \begin{array}{r} 100 \\ 130 \\ 110 \end{array} \right). \end{aligned}\] Damit ergibt sich der gesuchte Inputvektor mit den für diesen Auftrag benötigten Stückzahlen der beiden Anfangsprodukte wie folgt: \[\begin{aligned} \mathbf{b} = \mathbf{A}\mathbf{x}=\left( \begin{array}{rrr} 6 & 4 & 5 \\ 5 & 3 & 7 \end{array} \right)\left( \begin{array}{r} 100 \\ 130 \\ 110 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{r} 1670 \\ 1660 \end{array} \right). \end{aligned}\] Die Endbestände ergeben sich dann als Differenz aus dem ursprünglichen Lagerbestand und dem Inputvektor: \[\begin{aligned} \mathbf{e} = \left( \begin{array}{r} 1750 \\ 1820 \end{array} \right)-\left( \begin{array}{r} 1670 \\ 1660 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{r} 80 \\ 160 \end{array} \right). \end{aligned}\]

  • Falsch. Für diesen Auftrag werden \(1670\) Stück von \(A_{1}\) benötigt
  • Falsch. Der Endbestand von \(A_1\) beträgt \(80\)
  • Falsch. Der Endbestand von \(A_2\) beträgt \(160\)
  • Richtig. Der Auftrag kann mit den vorhandenen Lagerbeständen ausgeführt werden, da alle Endbestände größer gleich 0 sind
  • Falsch. Da der Endbestand von \(A_{1}\) (\(80\) Stück) größer gleich \(0\) ist, reicht der Lagerbestand von \(A_{1}\) für diesen Auftrag aus

Inverse Matrizen

Berechnen Sie die Inverse von \(\mathbf{X}\) für \[\mathbf{X} = \left( \begin{array}{rr} -9 & -16 \\ 10 & 16 \end{array} \right).\]

Wie lautet das Element unten links?

Die Inverse berechnet sich als \[\mathbf{X}^{-1} = \frac{1}{16} \left( \begin{array}{rr} 16 & 16 \\ -10 & -9 \end{array} \right).\]

Damit ist das Elemenent unten links \(= -10/16 = -0.625\), also gerundet auf zwei Nachkommastellen \(-0.63\).

Finden Sie heraus, ob die drei Matrizen
\[\mathbf{A} = \left( \begin{array}{rr} -2 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} \right),~\mathbf{B} = \left( \begin{array}{rr} 0 & -2 \\ 1 & 1 \end{array} \right),~\mathbf{C} = \left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 1 & -2 \end{array} \right).\] invertierbar sind und kreuzen Sie alle richtigen Antworten an.

  • \(\mathbf{C}\) ist nicht invertierbar
  • \(\mathbf{C}\) ist invertierbar, \(\mathbf{B}\) ist nicht invertierbar
  • \(\mathbf{B}\) ist invertierbar, \(\mathbf{A}\) ist nicht invertierbar
  • \(\mathbf{A}\) ist invertierbar
  • Alle drei Matrizen sind invertierbar

Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante von Null verschieden ist. Wir berechnen daher die Determinanten der drei Matrizen: \[\begin{aligned} \det \mathbf{A} &= &\det \left( \begin{array}{rr} -2 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} \right) = (-2) \cdot 0 - 1 \cdot 2 = -2 \\ \det \mathbf{B} &= &\det \left( \begin{array}{rr} 0 & -2 \\ 1 & 1 \end{array} \right) = 0 \cdot 1 - (-2) \cdot 1 = 2 \\ \det \mathbf{C} &= &\det \left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 1 & -2 \end{array} \right) = 1 \cdot (-2) - (-1) \cdot 1 = -1 \end{aligned}\]

  • Falsch. \(\mathbf{C}\) ist invertierbar
  • Falsch. \(\mathbf{C}\) ist invertierbar, \(\mathbf{B}\) ist invertierbar
  • Falsch. \(\mathbf{B}\) ist invertierbar, \(\mathbf{A}\) ist invertierbar
  • Richtig. \(\mathbf{A}\) ist invertierbar
  • Richtig. \(\mathbf{A}\) ist invertierbar, \(\mathbf{B}\) ist invertierbar, \(\mathbf{C}\) ist invertierbar

Matrixgleichungen

Finden Sie heraus, ob die drei Matrizen
\[\mathbf{A} = \left( \begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right),~\mathbf{B} = \left( \begin{array}{rr} 2 & -1 \\ 2 & -2 \end{array} \right),~\mathbf{C} = \left( \begin{array}{rr} -2 & 0 \\ 2 & -2 \end{array} \right).\] invertierbar sind und kreuzen Sie alle richtigen Antworten an.

  • \(\mathbf{A}\) ist invertierbar
  • \(\mathbf{B}\) ist invertierbar, \(\mathbf{A}\) ist nicht invertierbar
  • \(\mathbf{C}\) ist invertierbar, \(\mathbf{B}\) ist nicht invertierbar
  • Alle drei Matrizen sind invertierbar
  • \(\mathbf{C}\) ist nicht invertierbar

Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante von Null verschieden ist. Wir berechnen daher die Determinanten der drei Matrizen: \[\begin{aligned} \det \mathbf{A} &= &\det \left( \begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right) = (-1) \cdot 2 - 0 \cdot 0 = -2 \\ \det \mathbf{B} &= &\det \left( \begin{array}{rr} 2 & -1 \\ 2 & -2 \end{array} \right) = 2 \cdot (-2) - (-1) \cdot 2 = -2 \\ \det \mathbf{C} &= &\det \left( \begin{array}{rr} -2 & 0 \\ 2 & -2 \end{array} \right) = (-2) \cdot (-2) - 0 \cdot 2 = 4 \end{aligned}\]

  • Richtig. \(\mathbf{A}\) ist invertierbar
  • Falsch. \(\mathbf{B}\) ist invertierbar, \(\mathbf{A}\) ist invertierbar
  • Falsch. \(\mathbf{C}\) ist invertierbar, \(\mathbf{B}\) ist invertierbar
  • Richtig. \(\mathbf{A}\) ist invertierbar, \(\mathbf{B}\) ist invertierbar, \(\mathbf{C}\) ist invertierbar
  • Falsch. \(\mathbf{C}\) ist invertierbar

Gegeben sei die Matrixgleichung \(\mathbf{X}\cdot \mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{X} + \mathbf{C}\) mit den Matrizen \[\mathbf{A} = \left( \begin{array}{rr} 3 & 2 \\ -1 & 3 \end{array} \right),~\mathbf{B} = \left( \begin{array}{rr} -3 & 4 \\ -3 & -5 \end{array} \right),~\mathbf{C} = \left( \begin{array}{rr} -18 & -14 \\ -1 & 27 \end{array} \right).\] Bestimmen Sie die Matrix \(\mathbf{X}\). Welchen Wert hat \(\det \mathbf{X}\)?

Die gegebene Matrixgleichung lässt sich lösen, indem zuerst die Matrizen \(\mathbf{B}\) und \(\mathbf{X}\) subtrahiert werden, dann die Matrix \(\mathbf{X}\) unter Verwendung der Einheitsmatrix \(\mathbf{E}\) herausgehoben und schließlich von rechts mit der Inversen von \(\mathbf{A}-\mathbf{E}\) (falls diese existiert) multipliziert wird: \[\begin{aligned} \mathbf{X} \cdot \mathbf{A} + \mathbf{B} &= &\mathbf{X} + \mathbf{C} \\ \mathbf{X} \cdot \mathbf{A} - \mathbf{X} &= &\mathbf{C} - \mathbf{B} \\ \mathbf{X} \cdot \left[\mathbf{A} -\mathbf{E} \right] &= &\mathbf{C} - \mathbf{B} \\ \mathbf{X} &= &\left[ \mathbf{C} - \mathbf{B} \right] \cdot \left[\mathbf{A} -\mathbf{E} \right]^{-1} \end{aligned}\] Für die Inverse von \(\mathbf{A} -\mathbf{E}\) benötigen wir zunächst ihre Determinante: \[\begin{aligned} \det \left[\mathbf{A} -\mathbf{E} \right] = \det \left[\left( \begin{array}{rr} 3 & 2 \\ -1 & 3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \right] = \det \left( \begin{array}{rr} 2 & 2 \\ -1 & 2 \end{array} \right) = 2 \cdot 2 - 2 \cdot (-1) = 6 \end{aligned}\] Damit erhalten wir die Inverse von \(\mathbf{A} -\mathbf{E}\) wie folgt: \[\begin{aligned} \left[\mathbf{A} -\mathbf{E} \right]^{-1} = \left( \begin{array}{rr} 2 & 2 \\ -1 & 2 \end{array} \right)^{-1} = \frac{1}{\det \left[\mathbf{A} -\mathbf{E} \right]} \cdot \left( \begin{array}{rr} 2 & -2 \\ 1 & 2 \end{array} \right) = \frac{1}{6} \cdot \left( \begin{array}{rr} 2 & -2 \\ 1 & 2 \end{array} \right) \end{aligned}\] Nun können wir die Matrix \(\mathbf{X}\) berechnen: \[\begin{aligned} \mathbf{X} = \left[ \mathbf{C} - \mathbf{B} \right] \cdot \left[\mathbf{A} -\mathbf{E} \right]^{-1} &= &\left[ \left( \begin{array}{rr} -18 & -14 \\ -1 & 27 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{rr} -3 & 4 \\ -3 & -5 \end{array} \right) \right] \cdot \frac{1}{6} \cdot \left( \begin{array}{rr} 2 & -2 \\ 1 & 2 \end{array} \right)\\ &= &\frac{1}{6} \cdot \left( \begin{array}{rr} -15 & -18 \\ 2 & 32 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{rr} 2 & -2 \\ 1 & 2 \end{array} \right) \\ &= &\frac{1}{6} \cdot \left( \begin{array}{rr} -48 & -6 \\ 36 & 60 \end{array} \right) \\ &= &\left( \begin{array}{rr} -8 & -1 \\ 6 & 10 \end{array} \right) \end{aligned}\] Für die Determinante von \(\mathbf{X}\) erhalten wir damit: \[\begin{aligned} \det \mathbf{X} &= &\det \left( \begin{array}{rr} -8 & -1 \\ 6 & 10 \end{array} \right) = (-8) \cdot 10 - (-1) \cdot 6 = -74. \end{aligned}\]

Gegeben sei die Matrixgleichung \(\mathbf{Z} = \mathbf{A}\mathbf{X} + \mathbf{B}\mathbf{X} + \mathbf{C}\mathbf{X}\) mit den Matrizen \[\begin{aligned} \mathbf{A} = \left( \begin{array}{rr} -7 & 1 \\ -8 & 1 \end{array} \right), \; \mathbf{B} = \left( \begin{array}{rr} -3 & -2 \\ -9 & -5 \end{array} \right), \; \mathbf{C} = \left( \begin{array}{rr} -3 & -6 \\ 8 & 3 \end{array} \right), \; \mathbf{Z} = \left( \begin{array}{rr} 6 & -79 \\ 8 & -47 \end{array} \right) \end{aligned}\] Bestimmen Sie die Matrix \(\mathbf{X}\) und ihre Determinante.

\(\mathbf{X}=\)
\(\det \mathbf{X}=\)

Die gegebene Matrixgleichung lässt sich lösen, indem zuerst die Matrix \(\mathbf{X}\) aus den drei Summanden der rechten Seite der Gleichung herausgehoben wird. Die Inverse des ersten Faktors (die Summe der Matrizen \(\mathbf{A}, \; \mathbf{B}\) und \(\mathbf{C}\)) wird nun von links an die Matrix \(\mathbf{Z}\) multipliziert: \[\begin{aligned} \mathbf{Z} & = & \mathbf{A}\mathbf{X} + \mathbf{B}\mathbf{X} + \mathbf{C}\mathbf{X} \\ \mathbf{Z} & = & \left(\mathbf{A} + \mathbf{B} + \mathbf{C}\right)\mathbf{X} \\ \mathbf{X} & = & \left(\mathbf{A} + \mathbf{B} + \mathbf{C}\right)^{-1} \mathbf{Z} \end{aligned}\] Im Anschluss wird die Summe der Matrizen \(\mathbf{A}, \; \mathbf{B}\) und \(\mathbf{C}\) gebildet: \[\begin{aligned} \mathbf{A} + \mathbf{B} + \mathbf{C} & = & \left( \begin{array}{rr} -7 & 1 \\ -8 & 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{rr} -3 & -2 \\ -9 & -5 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{rr} -3 & -6 \\ 8 & 3 \end{array} \right) & = & \left( \begin{array}{rr} -13 & -7 \\ -9 & -1 \end{array} \right) \end{aligned}\] Die Inverse von \(\left(\mathbf{A} + \mathbf{B} + \mathbf{C}\right)\) exisitiert genau dann, wenn die Determinante von \(\left(\mathbf{A} + \mathbf{B} + \mathbf{C}\right)\) ungleich \(0\) ist. Ist die Determinate von \(\left(\mathbf{A} + \mathbf{B} + \mathbf{C}\right)\) gleich 0, so ist die Gleichung nicht lösbar. Bestimmen wir also nun die Determinante: \[\begin{aligned} \det [\mathbf{A} + \mathbf{B} + \mathbf{C}] & = & \det \left( \begin{array}{rr} -13 & -7 \\ -9 & -1 \end{array} \right) & = & (-13) \cdot (-1) - (-7) \cdot (-9) & = & -50 \end{aligned}\] Die Determinante von \(\left(\mathbf{A} + \mathbf{B} + \mathbf{C}\right)\) ist ungleich \(0\) und somit können wir die Inverse von \(\left(\mathbf{A} + \mathbf{B} + \mathbf{C}\right)\) bestimmen. Diese erhält man wie folgt: \[\begin{aligned} \left[\mathbf{A} + \mathbf{B} + \mathbf{C}\right]^{-1} = \frac{1}{-50} \cdot \left( \begin{array}{rr} -1 & 7 \\ 9 & -13 \end{array} \right) \end{aligned}\] Nun können wir die Matrix \(\mathbf{X}\) berechnen:

\[\begin{aligned} \mathbf{X} = \left[\mathbf{A} + \mathbf{B} + \mathbf{C}\right]^{-1} \cdot \mathbf{Z} & = &\frac{1}{-50} \cdot \left( \begin{array}{rr} -1 & 7 \\ 9 & -13 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{rr} 6 & -79 \\ 8 & -47 \end{array} \right)\\ & = &\frac{1}{-50} \cdot \left( \begin{array}{rr} 50 & -250 \\ -50 & -100 \end{array} \right)\\ & = &\left( \begin{array}{rr} -1 & 5 \\ 1 & 2 \end{array} \right) \end{aligned}\] Schließlich benötigen wir noch die Determinante von \(\mathbf{X}\): \[\begin{aligned} \det \mathbf{X} &= &\det \left( \begin{array}{rr} -1 & 5 \\ 1 & 2 \end{array} \right) = (-1) \cdot (2) - (5) \cdot (1) = -7. \end{aligned}\]

Input-Output-Analyse

Ein Input-Output Modell für Österreich aus dem Jahr \(1962\) besteht aus den folgenden Wirtschaftszweigen: 1. Unternehmungen, 2. öffentlicher Sektor und 3. Ausland. Der Endverbrauch wird durch die privaten Haushalten verursacht. Die Input-Output Tabelle lautet (in Milliarden Schilling):

Lieferungen an Sektor 1 an Sektor 2 an Sektor 3 an Endverbrauch
von Sektor 1 \(140\) \(100\) \(10\) \(450\)
von Sektor 2 \(20\) \(130\) \(160\) \(550\)
von Sektor 3 \(70\) \(170\) \(30\) \(600\)

Die Lieferungen an die Endverbraucher werden folgendermaßen angepasst:
Lieferungen aus Sektor 2 werden um \(405.5\) Mrd. gesteigert.

Wie hoch ist der Output von Sektor 3 nach der Anpassung?

Hinweise: Rechnen Sie mit 4 Nachkommastellen und runden Sie die gesuchten Ergebnisse erst am Ende auf 2 Nachkommastellen. Außerdem benötigen Sie eine der beiden folgenden inversen Matrizen: \[\begin{aligned} (\mathbf{E - A})^{-1} & = & \left( \begin{array}{rrr} 0.8000 & -0.1163 & -0.0115 \\ -0.0286 & 0.8488 & -0.1839 \\ -0.1000 & -0.1977 & 0.9655 \end{array} \right)^{-1} = \left( \begin{array}{rrr} 1.2629 & 0.1847 & 0.0502 \\ 0.0742 & 1.2437 & 0.2378 \\ 0.1460 & 0.2738 & 1.0896 \end{array} \right) \\ (\mathbf{E - A})^{-1} & = & \left( \begin{array}{rrr} 0.8000 & -0.1429 & -0.0143 \\ -0.0233 & 0.8488 & -0.1860 \\ -0.0805 & -0.1954 & 0.9655 \end{array} \right)^{-1} = \left( \begin{array}{rrr} 1.2629 & 0.2270 & 0.0624 \\ 0.0604 & 1.2437 & 0.2405 \\ 0.1175 & 0.2706 & 1.0896 \end{array} \right) \end{aligned}\]

Der Outputvektor (Zeilensummen) lautet: \[\begin{aligned} \mathbf{x} = \left( \begin{array}{r} 700 \\ 860 \\ 870 \end{array} \right) \end{aligned}\]

Die Technologiematrix berechnet man, indem die ersten drei Spalten der Tabelle durch die Zeilensummen der Tabelle diviert werden: \[\begin{aligned} \mathbf{A} = \left( \begin{array}{rrr} \frac{140}{700} & \frac{100}{860} & \frac{10}{870} \\ \frac{20}{700} & \frac{130}{860} & \frac{160}{870} \\ \frac{70}{700} & \frac{170}{860} & \frac{30}{870} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} 0.2000 & 0.1163 & 0.0115 \\ 0.0286 & 0.1512 & 0.1839 \\ 0.1000 & 0.1977 & 0.0345 \end{array} \right) \end{aligned}\]

Die Input-Output-Gleichung hat somit folgende Form: \[\begin{aligned} \mathbf{x} &=& \mathbf{A} \cdot \mathbf{x} + \mathbf{b} \\ \left( \begin{array}{r} 700 \\ 860 \\ 870 \end{array} \right) &=& \left( \begin{array}{rrr} 0.2000 & 0.1163 & 0.0115 \\ 0.0286 & 0.1512 & 0.1839 \\ 0.1000 & 0.1977 & 0.0345 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{r} 700 \\ 860 \\ 870 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{r} 450 \\ 550 \\ 600 \end{array} \right) \end{aligned}\]

Die Matrix \(\mathbf{E} - \mathbf{A}\) lautet: \[\begin{aligned} \mathbf{E} - \mathbf{A} = \left( \begin{array}{rrr} 0.8000 & -0.1163 & -0.0115 \\ -0.0286 & 0.8488 & -0.1839 \\ -0.1000 & -0.1977 & 0.9655 \end{array} \right) \end{aligned}\]

Für die inverse Matrix \((\mathbf{E} - \mathbf{A})^{-1}\) gilt: \[\begin{aligned} (\mathbf{E} - \mathbf{A})^{-1} = \left( \begin{array}{rrr} 1.2629 & 0.1847 & 0.0502 \\ 0.0742 & 1.2437 & 0.2378 \\ 0.1460 & 0.2738 & 1.0896 \end{array} \right) \end{aligned}\]

Nach der Anpassung des Endnachfragevektors \(\mathbf{b}\) lautet dieser: \[\begin{aligned} \mathbf{b} = \left( \begin{array}{r} 450.0 \\ 955.5 \\ 600.0 \end{array} \right) \end{aligned}\]

Der Output der drei Sektoren müsste nach der Anpassung also \[\begin{aligned} \mathbf{x} &=& (\mathbf{E} - \mathbf{A})^{-1} \cdot \mathbf{b} = \\ &=& \left( \begin{array}{rrr} 1.2629 & 0.1847 & 0.0502 \\ 0.0742 & 1.2437 & 0.2378 \\ 0.1460 & 0.2738 & 1.0896 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{r} 450.0 \\ 955.5 \\ 600.0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 774.9058 \\ 1364.4254 \\ 981.0759 \end{array} \right) \end{aligned}\] betragen.

Der Output von Sektor 3 nach der Anpassung beträgt \(981.08\) Einheiten.

Ein Automobilkonzern besteht aus drei Unternehmensbereichen: der Produktion von PKWs (P), der Produktion von Nutzfahrzeugen (N) und einem Zentrum für Forschung und Entwicklung (F + E). Die folgende Tabelle stellt die Ströme der Lieferungen und Leistungen innerhalb des Unternehmens sowie die Umsätze durch den Verkauf an Endverbraucher der drei Bereiche dar (alle Angaben in Mio. GE):

Lieferungen von an P an N an F+E Umsatz Kosten
P \(200\) \(130\) \(110\) \(260\) \(169\)
N \(70\) \(100\) \(50\) \(180\) \(154.8\)
F+E \(140\) \(10\) \(30\) \(320\) \(425.6\)

Die Sparte Forschung und Entwicklung erwirtschaftet momentan Verluste von \(105.6\) Mio. GE. Um wieviel müsste der Gesamtoutput des Unternehmens absolut steigen, damit der Sektor von Forschung und Entwicklung wenigstens kostendeckend ist, wenn gleichzeitig durch Rationalisierungsmaßnahmen die Kosten in allen Sparten auf unverändertem Niveau gehalten werden können?

Hinweise: Rechnen Sie mit 4 Nachkommastellen und runden Sie die gesuchten Ergebnisse erst am Ende auf 2 Nachkommastellen. Außerdem benötigen Sie eine der beiden folgenden inversen Matrizen: \[\begin{aligned} \mathbf{(E - A)}^{-1} &=& \left( \begin{array}{rrr} 0.7143 & -0.1857 & -0.1571 \\ -0.1750 & 0.7500 & -0.1250 \\ -0.2800 & -0.0200 & 0.9400 \end{array} \right)^{-1} = \left( \begin{array}{rrr} 1.6292 & 0.4122 & 0.3272 \\ 0.4627 & 1.4551 & 0.2708 \\ 0.4951 & 0.1537 & 1.1670 \end{array} \right) \\ \mathbf{(E - A)}^{-1} &=& \left( \begin{array}{rrr} 0.7143 & -0.3250 & -0.2200 \\ -0.1000 & 0.7500 & -0.1000 \\ -0.2000 & -0.0250 & 0.9400 \end{array} \right)^{-1} = \left( \begin{array}{rrr} 1.6292 & 0.7213 & 0.4580 \\ 0.2644 & 1.4551 & 0.2167 \\ 0.3537 & 0.1922 & 1.1670 \end{array} \right) \end{aligned}\]

Die Grundgleichung der Input-Output-Analyse mit Technologiematrix \(\mathbf{A}\), Outputvektor \(\mathbf{x}\) und Endverbrauchsvektor \(\mathbf{b}\) ist: \(\mathbf{x} = \mathbf{A} \mathbf{x} + \mathbf{b}\).

Der aktuelle Outputvektor \(\mathbf{x}\) ergibt sich aus den Zeilensummen der obigen Tabelle: \[\begin{aligned} \mathbf{x} = \left( \begin{array}{r} 700 \\ 400 \\ 500 \end{array} \right) \end{aligned}\] Der momentane Gesamtoutput beträgt daher \(1600\) GE.

Damit ergibt sich die Technologiematrix wie folgt: \[\begin{aligned} \mathbf{A} = \left( \begin{array}{rrr} \frac{200}{700} & \frac{130}{400} & \frac{110}{500} \smallskip \smallskip \\ \frac{70}{700} & \frac{100}{400} & \frac{50}{500} \smallskip \smallskip \\ \frac{140}{700} & \frac{10}{400} & \frac{30}{500} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} 0.2857 & 0.3250 & 0.2200 \\ 0.1000 & 0.2500 & 0.1000 \\ 0.2000 & 0.0250 & 0.0600 \end{array} \right) \end{aligned}\]

Für das statische Gleichgewicht \(\mathbf{x} = (\mathbf{E} - \mathbf{A})^{-1} \mathbf{b}\) wird die Inverse von \(\mathbf{E}-\mathbf{A}\) benötigt: \[\begin{aligned} \left(\mathbf{E}-\mathbf{A}\right)^{-1} &= &\left(\left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)-\left( \begin{array}{rrr} 0.2857 & 0.3250 & 0.2200 \\ 0.1000 & 0.2500 & 0.1000 \\ 0.2000 & 0.0250 & 0.0600 \end{array} \right)\right)^{-1} \\ &= &\left( \begin{array}{rrr} 0.7143 & -0.3250 & -0.2200 \\ -0.1000 & 0.7500 & -0.1000 \\ -0.2000 & -0.0250 & 0.9400 \end{array} \right)^{-1} \\ &= &\left( \begin{array}{rrr} 1.6292 & 0.7213 & 0.4580 \\ 0.2644 & 1.4551 & 0.2167 \\ 0.3537 & 0.1922 & 1.1670 \end{array} \right) \end{aligned}\]

Bei einer kostendeckenden Produktion in der Sparte Forschung und Entwicklung ergibt sich der neue Endverbrauchsvektor: \[\begin{aligned} \mathbf{b}_1 = \left( \begin{array}{r} 260.0 \\ 180.0 \\ 425.6 \end{array} \right) \end{aligned}\] Damit lässt sich der neue Outputvektor wie folgt berechnen: \[\begin{aligned} \left(\mathbf{E}-\mathbf{A}\right)^{-1} \cdot \mathbf{b}_1 = \left( \begin{array}{rrr} 1.6292 & 0.7213 & 0.4580 \\ 0.2644 & 1.4551 & 0.2167 \\ 0.3537 & 0.1922 & 1.1670 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{r} 260.0 \\ 180.0 \\ 425.6 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 748.3508 \\ 422.8895 \\ 623.2332 \end{array} \right) \end{aligned}\] Der Gesamtoutput \(\text{G}_1\) bei kostendeckender Produktion in der Sparte Forschung und Entwicklung beträgt daher \[\begin{aligned} \text{G}_1 = 748.3508 + 422.88952 + 623.2332 = 1794.4735 \approx 1794.47 \end{aligned}\]

Der Gesamtoutput des Unternehmens muss daher absolut um \(1794.47 - 1600.00 = 194.47\) Mio. GE steigen.