Woche 3

Überblick

Thema	Inhalte	Folien	Video	Buch	Training
2	Funktionen mit zwei Variablen	30-37	2g	8.3
	Die erste Ableitung	38-44	2h	8.4	8.4 a/b
	Optimierung unter Nebenbedingungen	45-55	2i-j	8.8	8.8
					Quiz

Funktionen mit zwei Variablen

Die erste Ableitung

Optimierung unter Nebenbedingungen

Quiz

Welche der folgenden Aussagen über Funktionen mit zwei Variablen sind richtig?

Die Funktion \(f(x_1, x_2) = x_1^{0.4} \cdot x_2^{0.6}\) ist eine Exponentialfunktion mit zwei Variablen.Bei der partiellen Ableitung von \(f(x_1, x_2)\) nach \(x_1\), wird \(x_2\) als Konstante behandelt.Die partielle Ableitung einer Funktion \(f(x_1, x_2)\) nach \(x_1\) ist immer nur von \(x_1\) abhängig.Die partielle Ableitung einer Funktion \(f(x_1, x_2)\) nach \(x_1\) gibt an, um wie viel sich der Funktionswert verändert, wenn \(x_1\) um eine marginale Einheit steigt und \(x_2\) konstant bleibt.Die partielle Ableitung von \(f(x_1, x_2) = x_1^2 + x_2^2\) nach \(x_2\) ist eine lineare Funktion, die nur von \(x_2\) abhängt.

Details zu Funktionen mit zwei Variablen werden auf den VO-Folien in den Abschnitten Funktionen mit zwei Variablen und Partielle Ableitung vorgestellt sowie im Buch in den Abschnitten 8.2 und 8.3.

Falsch. Die Funktion ist eine Cobb-Douglas-Funktion, welche ein Produkt von zwei Potenzfunktionen ist.
Richtig. So ist die partielle Ableitung definiert.
Falsch. Im Allgemeinen kann auch die partielle Ableitung von beiden Variablen \(x_1\) und \(x_2\) abhängen, aber auch von nur einer oder gar keiner Variablen.
Richtig. Wenn \(x_2\) konstant gehalten wird, kann die partielle Ableitung nach \(x_1\) so wie im eindimensionalen Fall interpretiert werden.
Richtig. Die partielle Ableitung ist \(f'_2(x_1, x_2) = 2 x_2\) und somit eine lineare Funktion von \(x_2\).

Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen der Funktion \[\begin{aligned} f(x_1, x_2) = -25 \cdot x_1 \cdot \ln \left( x_1 \right) -20 \cdot x_2 \cdot \ln \left( x_2 \right) \end{aligned}\] an der Stelle \(\mathbf{a} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \end{array} \right)\).

\(f'_1(5, 4) =\)

\(f'_2(5, 4) =\)

Ein Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion \(F(K,L)\) mit den Inputfaktoren \(K\) für Kapital und \(L\) für Arbeit auf \[F(K,L)= K^{0.6} + L\] Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt \(p_K=0.85\) und der Preis für eine Einheit Arbeit beträgt \(p_L=3\). Minimieren Sie die Kosten des Unternehmens unter Berücksichtigung seiner Produktionsfunktion, wenn ein Output von \(260\) ME produziert werden soll.

Wie hoch ist der Einsatz von Faktor \(K\) im Kostenminimum?

Wie hoch ist der Einsatz von Faktor \(L\) im Kostenminimum?

Welchen Wert hat der Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) im Kostenminimum?

Wie hoch sind in diesem Fall die minimalen Kosten?

Die Nachfrage nach einem Gut beträgt \(6.263\) ME bei einem Preis von \(9\) GE. Steigt der Preis auf \(10\) GE, so sinkt die Nachfrage auf \(6.019\) ME.

Berechnen Sie die Preiselastizität der Nachfrage mit Hilfe der Bogenelastizität.

(Hinweis: Geben Sie alle Elastizitäten mit Vorzeichen an.)

	Bogenelastizität
Beim Preis \(p = 9\)
Beim Preis \(p = 10\)
Mittelwertmethode

Zusätzlich zu den obigen zwei Punkten auf der Nachfragefunktion sei nun bekannt, dass die Nachfragefunktion gegeben ist durch \(D(p) = 10 - p^{0.6}\).

Berechnen Sie nun auch die Preiselastizität der Nachfrage mit Hilfe der Punktelastizität \(\varepsilon(p)\).

	Punktelastizität
Beim Preis \(p = 9\)
Beim Preis \(p = 10\)

Im betrachteten Preisintervall ist die Nachfrage nach dem Gut also: