Woche 7

Überblick

Thema	Inhalte	Folien	Video	Buch	Training
5	Grundbegriffe	1-22	5a-c	7.1	7.1
	Matrixmultiplikation	23-36	5d-e	7.2	7.2
	Matrizen und lineare Abbildungen	37-48	5f	-
					Quiz

Grundbegriffe

5a

5b

5c

Matrixmultiplikation

5d

5e

Matrizen und lineare Abbildungen

5f

Quiz

a

Welche der folgenden Aussagen zum Rechnen mit Vektoren und Matrizen sind richtig?

Um die Summe \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\) von zwei Vektoren bilden zu können, müssen beide dieselbe Anzahl Elemente haben.Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar kann geometrisch als Rotation interpretiert werden.Der Abstand von zwei Vektoren entspricht der Länge ihrer Differenz.Um das Produkt \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\) bilden zu können, müssen \(\mathbf{A}\) und \(\mathbf{B}\) die gleiche Ordnung haben.Das Produkt \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\) wird einfach komponentenweise gebildet.

Details zum Rechnen mit Vektoren und Matrizen werden auf den VO-Folien zu Thema 5 in den Abschnitten Grundbegriffe und Matrixmultiplikation vorgestellt sowie im Buch in den Abschnitten 7.1 und 7.2.

• Richtig. Nur dann können die Vektoren komponentenweise addiert werden.
• Falsch. Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar kann geometrisch als Streckung oder Stauchung interpretiert werden.
• Richtig. \(d(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = ||\mathbf{a} - \mathbf{b}||\).
• Falsch. Um das Matrixprodukt bilden zu können, muss die Anzahl Spalten (= Zeilenlänge) von \(\mathbf{A}\) gleich der Anzahl Zeilen (= Spaltenlänge) von \(\mathbf{B}\) sein.
• Falsch. Die Summe aber nicht das Produkt zweier Matrizen wird komponentenweise gebildet.

b

Sei A eine \(m \times n\) Matrix und \(\mathbf{B}\) eine \(n \times p\) Matrix. Welche Aussagen sind zutreffend?

Das Produkt \(\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}\) ist jedenfalls definiert und eine \(n \times n\) Matrix.Falls \(m = p\) so ist \(\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}\) eine quadratische Matrix.Das Produkt \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\) ist jedenfalls definiert und eine \(m \times p\) Matrix.\(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A}\).Falls \(p = 1\) so ist \(\mathbf{B}\) ein Spaltenvektor.

Details zur Matrixmultiplikation werden auf den VO-Folien zu Thema 5 im Abschnitt Matrixmultiplikation vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 7.2.

• Falsch. Dies gilt nur, falls \(m = p\).
• Richtig. In diesem Fall ist das Produkt eine \(n \times n\) Matrix.
• Richtig. Dies gilt, da die Anzahl Spalten von \(\mathbf{A}\) gleich der Anzahl Zeilen von \(\mathbf{B}\) ist (\(= n\)).
• Falsch. Das Matrixprodukt ist im Allgemeinen nicht kommutativ.
• Richtig. Spaltenvektoren können auch als Matrizen mit einer Spalte interpretiert werden.

c

Bestimmen Sie \(\mathbf{D}\) so, dass  \(\frac{1}{3} \left(6\mathbf{A} - 3\mathbf{D}\right) + 6\mathbf{B} = \mathbf{D} + 12\mathbf{C}\) erfüllt ist.

\[\begin{aligned} \mathbf{A} = \left( \begin{array}{rrr} -4 & 4 & 0 \\ 3 & -5 & -2 \\ 3 & -3 & 3 \\ -5 & 3 & 5 \\ 0 & -5 & -1 \end{array} \right),~\mathbf{B} = \left( \begin{array}{rrr} -4 & 0 & -3 \\ 4 & -3 & 3 \\ -5 & 3 & 3 \\ -3 & -5 & -3 \\ -1 & 5 & 5 \end{array} \right),~\mathbf{C} = \left( \begin{array}{rrr} -2 & 8 & 10 \\ 7 & -5 & 0 \\ 8 & 2 & 5 \\ 10 & 3 & -4 \\ -2 & -2 & 5 \end{array} \right). \end{aligned}\]

Die Einträge der Matrix \(\mathbf{D}\) lauten wie folgt:

d

Gegeben seien die Matrizen \(\mathbf{A}\) und \(\mathbf{B}\):

\[ \mathbf{A} = \left( \begin{array}{rrr} 5 & -2 & 5 \\ 3 & 1 & 3 \\ 2 & 5 & -1 \end{array} \right),\; \mathbf{B} = \left( \begin{array}{rrr} -2 & -5 & 1 \\ 5 & 5 & -3 \end{array} \right). \]

Berechnen Sie die Matrix \(\mathbf{C} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A}\) mit Hilfe des Falk-Schemas.