Woche 7

Überblick

Thema	Inhalte	Folien	Video	Buch	Training
5	Grundbegriffe	1-22	5a-c	7.1	7.1
	Matrixmultiplikation	23-36	5d-e	7.2	7.2
	Matrizen und lineare Abbildungen	37-48	5f	-
					Quiz

Grundbegriffe

5a

5b

5c

Matrixmultiplikation

5d

5e

Matrizen und lineare Abbildungen

5f

Quiz

a

Welche der folgenden Aussagen zum Rechnen mit Vektoren und Matrizen sind richtig?

Um das Produkt \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\) bilden zu können, müssen \(\mathbf{A}\) und \(\mathbf{B}\) die gleiche Ordnung haben.Das Produkt \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\) wird einfach komponentenweise gebildet.Das Produkt \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\) wird gebildet, indem die Zeilen von \(\mathbf{A}\) mit den Spalten von \(\mathbf{B}\) multipliziert werden.Um die Summe \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\) von zwei Vektoren bilden zu können, müssen beide dieselbe Anzahl Elemente haben.Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar kann geometrisch als Rotation interpretiert werden.

Details zum Rechnen mit Vektoren und Matrizen werden auf den VO-Folien zu Thema 5 in den Abschnitten Grundbegriffe und Matrixmultiplikation vorgestellt sowie im Buch in den Abschnitten 7.1 und 7.2.

• Falsch. Um das Matrixprodukt bilden zu können, muss die Anzahl Spalten (= Zeilenlänge) von \(\mathbf{A}\) gleich der Anzahl Zeilen (= Spaltenlänge) von \(\mathbf{B}\) sein.
• Falsch. Die Summe aber nicht das Produkt zweier Matrizen wird komponentenweise gebildet.
• Richtig. Eine Zeile wird mit einer Spalte dabei dadurch multipliziert, dass man die entsprechenden Komponenten multipliziert und die entstehenden Produkte addiert.
• Richtig. Nur dann können die Vektoren komponentenweise addiert werden.
• Falsch. Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar kann geometrisch als Streckung oder Stauchung interpretiert werden.

b

Sei A eine \(m \times n\) Matrix und \(\mathbf{B}\) eine \(n \times p\) Matrix. Welche Aussagen sind zutreffend?

Falls \(m = p\) so ist \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\) eine symmetrische Matrix.Das Produkt \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\) ist jedenfalls definiert und eine \(m \times p\) Matrix.Falls \(p = 1\) so ist \(\mathbf{B}\) ein Spaltenvektor.\(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A}\).Falls \(m = p\) so ist \(\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}\) eine quadratische Matrix.

Details zur Matrixmultiplikation werden auf den VO-Folien zu Thema 5 im Abschnitt Matrixmultiplikation vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 7.2.

• Falsch. Das Produkt ist zwar eine quadratische Matrix, diese ist aber nicht zwingend auch symmetrisch.
• Richtig. Dies gilt, da die Anzahl Spalten von \(\mathbf{A}\) gleich der Anzahl Zeilen von \(\mathbf{B}\) ist (\(= n\)).
• Richtig. Spaltenvektoren können auch als Matrizen mit einer Spalte interpretiert werden.
• Falsch. Das Matrixprodukt ist im Allgemeinen nicht kommutativ.
• Richtig. In diesem Fall ist das Produkt eine \(n \times n\) Matrix.

c

Bestimmen Sie \(\mathbf{D}\) so, dass  \(\frac{1}{2} \left(4\mathbf{A} - 2\mathbf{D}\right) + 4\mathbf{B} = \mathbf{D} + 12\mathbf{C}\) erfüllt ist.

\[\begin{aligned} \mathbf{A} = \left( \begin{array}{rrr} -5 & -3 & -2 \\ 3 & -4 & 4 \\ 0 & 5 & -4 \\ 2 & -3 & -5 \\ -3 & -1 & -3 \end{array} \right),~\mathbf{B} = \left( \begin{array}{rrr} -4 & -5 & 5 \\ -4 & -2 & 1 \\ 3 & 2 & -3 \\ 5 & -2 & 3 \\ 5 & 4 & 5 \end{array} \right),~\mathbf{C} = \left( \begin{array}{rrr} 10 & -5 & -4 \\ 0 & 2 & 10 \\ 10 & 3 & -2 \\ -4 & 0 & 2 \\ -5 & 2 & -5 \end{array} \right). \end{aligned}\]

Die Einträge der Matrix \(\mathbf{D}\) lauten wie folgt:

d

Gegeben seien die Matrizen \(\mathbf{A}\) und \(\mathbf{B}\):

\[ \mathbf{A} = \left( \begin{array}{rr} -4 & 3 \\ -4 & 1 \\ 4 & -5 \\ 4 & -2 \end{array} \right),\; \mathbf{B} = \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 2 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & -3 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 2 \end{array} \right). \]

Berechnen Sie die Matrix \(\mathbf{C} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A}\) mit Hilfe des Falk-Schemas.