Woche 7
Überblick
Thema | Inhalte | Folien | Video | Buch | Training |
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5 | Grundbegriffe | 1-22 | 5a-c | 7.1 | 7.1 |
Matrixmultiplikation | 23-36 | 5d-e | 7.2 | 7.2 | |
Matrizen und lineare Abbildungen | 37-48 | 5f | - | ||
Quiz |
Grundbegriffe
Matrixmultiplikation
Matrizen und lineare Abbildungen
Quiz
Welche der folgenden Aussagen zum Rechnen mit Vektoren und Matrizen sind richtig?
- Um die Summe \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\) von zwei Vektoren bilden zu können, müssen beide dieselbe Anzahl Elemente haben.
- Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar kann geometrisch als Rotation interpretiert werden.
- Der Abstand von zwei Vektoren entspricht der Länge ihrer Differenz.
- Um das Produkt \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\) bilden zu können, müssen \(\mathbf{A}\) und \(\mathbf{B}\) die gleiche Ordnung haben.
- Das Produkt \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\) wird einfach komponentenweise gebildet.
Details zum Rechnen mit Vektoren und Matrizen werden auf den VO-Folien zu Thema 5 in den Abschnitten Grundbegriffe und Matrixmultiplikation vorgestellt sowie im Buch in den Abschnitten 7.1 und 7.2.
- Richtig. Nur dann können die Vektoren komponentenweise addiert werden.
- Falsch. Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar kann geometrisch als Streckung oder Stauchung interpretiert werden.
- Richtig. \(d(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = ||\mathbf{a} - \mathbf{b}||\).
- Falsch. Um das Matrixprodukt bilden zu können, muss die Anzahl Spalten (= Zeilenlänge) von \(\mathbf{A}\) gleich der Anzahl Zeilen (= Spaltenlänge) von \(\mathbf{B}\) sein.
- Falsch. Die Summe aber nicht das Produkt zweier Matrizen wird komponentenweise gebildet.
Sei A eine \(m \times n\) Matrix und \(\mathbf{B}\) eine \(n \times p\) Matrix. Welche Aussagen sind zutreffend?
- Das Produkt \(\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}\) ist jedenfalls definiert und eine \(n \times n\) Matrix.
- \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A}\).
- Falls \(p = 1\) so ist \(\mathbf{B}\) ein Spaltenvektor.
- Falls \(m = p\) so ist \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\) eine symmetrische Matrix.
- Falls \(m = p\) so ist \(\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}\) eine quadratische Matrix.
Details zur Matrixmultiplikation werden auf den VO-Folien zu Thema 5 im Abschnitt Matrixmultiplikation vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 7.2.
- Falsch. Dies gilt nur, falls \(m = p\).
- Falsch. Das Matrixprodukt ist im Allgemeinen nicht kommutativ.
- Richtig. Spaltenvektoren können auch als Matrizen mit einer Spalte interpretiert werden.
- Falsch. Das Produkt ist zwar eine quadratische Matrix, diese ist aber nicht zwingend auch symmetrisch.
- Richtig. In diesem Fall ist das Produkt eine \(n \times n\) Matrix.
Bestimmen Sie \(\mathbf{D}\) so, dass \(\frac{1}{2} \left(4\mathbf{A} - 2\mathbf{D}\right) + 12\mathbf{B} = \mathbf{D} + 4\mathbf{C}\) erfüllt ist.
\[\begin{aligned} \mathbf{A} = \left( \begin{array}{rrrrr} -3 & 2 & 5 & -2 & 3 \\ 3 & -2 & 4 & 1 & 4 \\ -5 & -2 & -2 & 1 & -2 \end{array} \right),~\mathbf{B} = \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & -1 & 3 & 3 & 4 \\ -2 & -2 & -4 & -5 & -5 \\ 3 & -3 & 3 & 0 & -3 \end{array} \right),~\mathbf{C} = \left( \begin{array}{rrrrr} 3 & -2 & 7 & -1 & -5 \\ -5 & 3 & 10 & -4 & -3 \\ 0 & 9 & 5 & 4 & 6 \end{array} \right). \end{aligned}\]
Die Einträge der Matrix \(\mathbf{D}\) lauten wie folgt:
Gegeben seien die Matrizen \(\mathbf{A}\) und \(\mathbf{B}\):
\[ \mathbf{A} = \left( \begin{array}{rrr} -5 & -2 & 1 \\ -4 & 5 & -3 \\ 3 & -5 & 5 \\ 0 & 5 & 3 \end{array} \right),\; \mathbf{B} = \left( \begin{array}{rrrr} 3 & -2 & 3 & -4 \\ 3 & -2 & -2 & 5 \\ -3 & -5 & 0 & -4 \\ 5 & 2 & 5 & -3 \end{array} \right). \]
Berechnen Sie die Matrix \(\mathbf{C} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A}\) mit Hilfe des Falk-Schemas.