Woche 7

Überblick

Thema	Inhalte	Folien	Video	Buch	Training
5	Grundbegriffe	1-22	5a-c	7.1	7.1
	Matrixmultiplikation	23-36	5d-e	7.2	7.2
	Matrizen und lineare Abbildungen	37-48	5f	-
					Quiz

Grundbegriffe

5a

5b

5c

Matrixmultiplikation

5d

5e

Matrizen und lineare Abbildungen

5f

Quiz

a

Welche der folgenden Aussagen zum Rechnen mit Vektoren und Matrizen sind richtig?

Das Produkt \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\) wird gebildet, indem die Zeilen von \(\mathbf{A}\) mit den Spalten von \(\mathbf{B}\) multipliziert werden.Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar kann geometrisch als Rotation interpretiert werden.Um die Summe \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\) von zwei Vektoren bilden zu können, müssen beide dieselbe Anzahl Elemente haben.Um das Produkt \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\) bilden zu können, müssen \(\mathbf{A}\) und \(\mathbf{B}\) die gleiche Ordnung haben.Das Produkt \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\) wird einfach komponentenweise gebildet.

Details zum Rechnen mit Vektoren und Matrizen werden auf den VO-Folien zu Thema 5 in den Abschnitten Grundbegriffe und Matrixmultiplikation vorgestellt sowie im Buch in den Abschnitten 7.1 und 7.2.

• Richtig. Eine Zeile wird mit einer Spalte dabei dadurch multipliziert, dass man die entsprechenden Komponenten multipliziert und die entstehenden Produkte addiert.
• Falsch. Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar kann geometrisch als Streckung oder Stauchung interpretiert werden.
• Richtig. Nur dann können die Vektoren komponentenweise addiert werden.
• Falsch. Um das Matrixprodukt bilden zu können, muss die Anzahl Spalten (= Zeilenlänge) von \(\mathbf{A}\) gleich der Anzahl Zeilen (= Spaltenlänge) von \(\mathbf{B}\) sein.
• Falsch. Die Summe aber nicht das Produkt zweier Matrizen wird komponentenweise gebildet.

b

Sei A eine \(m \times n\) Matrix und \(\mathbf{B}\) eine \(n \times p\) Matrix. Welche Aussagen sind zutreffend?

Falls \(p = 1\) so ist \(\mathbf{B}\) ein Spaltenvektor.\(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A}\).Das Produkt \(\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}\) ist jedenfalls definiert und eine \(n \times n\) Matrix.Falls \(m = p\) so ist \(\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}\) eine quadratische Matrix.Das Produkt \(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}\) ist jedenfalls definiert und eine \(m \times p\) Matrix.

Details zur Matrixmultiplikation werden auf den VO-Folien zu Thema 5 im Abschnitt Matrixmultiplikation vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 7.2.

• Richtig. Spaltenvektoren können auch als Matrizen mit einer Spalte interpretiert werden.
• Falsch. Das Matrixprodukt ist im Allgemeinen nicht kommutativ.
• Falsch. Dies gilt nur, falls \(m = p\).
• Richtig. In diesem Fall ist das Produkt eine \(n \times n\) Matrix.
• Richtig. Dies gilt, da die Anzahl Spalten von \(\mathbf{A}\) gleich der Anzahl Zeilen von \(\mathbf{B}\) ist (\(= n\)).

c

Bestimmen Sie \(\mathbf{D}\) so, dass  \(\frac{1}{3} \left(15\mathbf{A} - 2\mathbf{D}\right) + 5\mathbf{B} = \mathbf{D} + 20\mathbf{C}\) erfüllt ist.

\[\begin{aligned} \mathbf{A} = \left( \begin{array}{rrrr} -1 & -3 & 2 & -1 \\ 2 & -3 & -4 & 3 \\ -1 & 4 & -4 & -4 \\ -3 & -2 & 3 & 3 \end{array} \right),~\mathbf{B} = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & -1 & 2 & 1 \\ 5 & 5 & 3 & -2 \\ -4 & -2 & -3 & 3 \\ -1 & -5 & 3 & 0 \end{array} \right),~\mathbf{C} = \left( \begin{array}{rrrr} -2 & 10 & 0 & 9 \\ 3 & -5 & 7 & 2 \\ 9 & 2 & -2 & 5 \\ 9 & 6 & 7 & 0 \end{array} \right). \end{aligned}\]

Die Einträge der Matrix \(\mathbf{D}\) lauten wie folgt:

d

Gegeben seien die Matrizen \(\mathbf{A}\) und \(\mathbf{B}\):

\[ \mathbf{A} = \left( \begin{array}{rr} -1 & -2 \\ -1 & -1 \end{array} \right),\; \mathbf{B} = \left( \begin{array}{rr} -2 & -3 \\ 0 & -2 \\ -1 & -5 \\ -5 & 2 \end{array} \right). \]

Berechnen Sie die Matrix \(\mathbf{C} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A}\) mit Hilfe des Falk-Schemas.