Woche 13

Überblick

Thema	Inhalte	Folien	Video	Buch	Training
7	Erwartungswert	96-109	7o-r	5.3	5.3
	Varianz	110-118	7s	5.3	5.3
					Quiz
					PS-Übungsaufgabe

Erwartungswert

Varianz

Quiz

Welche der folgenden Aussagen zum Erwartungswert und zur Varianz einer Zufallsvariablen sind richtig?

Verschiebt man eine Zufallsvariable \(X\) um eine positive Konstante \(c\), so erhöht sich die Varianz um den gleichen Wert.Die Varianz ist der quadrierte Erwartungswert einer Zufallsvariablen.Der Erwartungswert ist der langfristige Durchschnitt der zufälligen Werte einer Zufallsvariablen.Die Varianz ist ein Maß für die Streuung einer Verteilung um ihren Erwartungswert.Multipliziert man eine Zufallsvariable \(X\) mit einer positiven Konstanten \(c\), so ändert sich die Standardabweichung um den gleichen Faktor.

Details zu Erwartungswert und Varianz werden auf den VO-Folien zu Thema 7 in den Abschnitten Erwartungswert und Varianz vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 5.3.

Falsch. Die Verschiebung um eine Konstante ändert die Varianz nicht: \(V(X + c) = V(X)\).
Falsch. Die Varianz einer Zufallsvariablen ist der erwartete quadratische Abstand vom Erwartungswert.
Richtig. Der Grenzwert der Mittelwerte von Werten aus einer Zufallsvariablen ist der Erwartungswert (wenn dieser exisitiert).
Richtig. Sowohl Varianz als auch Standardabweichung sind Streuungsmaße für Zufallsvariablen.
Richtig. Es gilt: \(\sigma(c \cdot X) = c \cdot \sigma(X)\).

Ein Beratungsunternehmen überlegt die Expansion in eine neue Region. In einer umfangreichen Marktstudie wurde ermittelt, mit welcher Wahrscheinlichkeit welche Anzahl an Neukunden gewonnen werden könnte.

Dabei ergaben sich folgende Werte:

Anzahl Kunden	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
Wahrscheinlichkeit	\(0.07\)	\(0.15\)	\(0.24\)	\(0.14\)	\(0.12\)	\(0.28\)

Die Kosten des Unternehmens für die Expansion belaufen sich auf Fixkosten von \(115\) GE und variable Kosten von \(35\) GE pro Kunde. Der Erlös pro Kunde beträgt \(192\) GE.

Berechnen Sie den zu erwartenden Gewinn (bzw. Verlust) der Expansion.

Eine stetige Zufallsvariable \(X\) hat folgende Dichtefunktion

\[\begin{aligned} f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} \frac{1}{x\ln(6)} & 1 \leq x \leq 6 \\ 0 & \mbox{sonst} \end{array} \right. \end{aligned}\]

Welchen Wert erhält man für \(E(X)\)?

PS-Übungsaufgabe

Die Zeit \(X\) (in Tagen), die ein Arbeitsloser braucht, um wieder eine Anstellung zu finden, hat annähernd eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit folgender Dichtefunktion: \[\begin{aligned} f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & x < 0 \\ 0.0076 \cdot \exp (-0.0076 x) & x \geq 0 \end{array} \right. \end{aligned}\]

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Arbeitsloser genau \(239\) Tage benötigt, um eine Anstellung zu finden? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Arbeitsloser zwischen \(52\) und \(100\) Tage benötigt, um eine Anstellung zu finden? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

Nach wie vielen Tagen hat ein Arbeitsloser mit einer Wahrscheinlichkeit von \(73\)% eine Anstellung gefunden?

Wie viele Tage dauert es im Mittel, bis ein Arbeitsloser wieder eine Anstellung findet?