Woche 13

Überblick

Thema Inhalte Folien Video Buch Training
7 Erwartungswert 96-109 7o-r 5.3 5.3
Varianz 110-118 7s 5.3 5.3
Quiz

Erwartungswert

Varianz

Quiz

Welche der folgenden Aussagen zum Erwartungswert und zur Varianz einer Zufallsvariablen sind richtig?

  • Die Varianz ist ein Maß für die Streuung einer Verteilung um ihren Erwartungswert.
  • Verschiebt man eine Zufallsvariable \(X\) um eine positive Konstante \(c\), so erhöht sich die Varianz um den gleichen Wert.
  • Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung einer Verteilung um ihren Erwartungswert.
  • Der Erwartungswert ist der langfristige Durchschnitt der zufälligen Werte einer Zufallsvariablen.
  • Der Erwartungswert einer linearen Transformation ist die lineare Transformation des Erwartungswerts: \(E(a \cdot X + b) = a \cdot E(X) + b\).

Details zu Erwartungswert und Varianz werden auf den VO-Folien zu Thema 7 in den Abschnitten Erwartungswert und Varianz vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 5.3.

  • Richtig. Sowohl Varianz als auch Standardabweichung sind Streuungsmaße für Zufallsvariablen.
  • Falsch. Die Verschiebung um eine Konstante ändert die Varianz nicht: \(V(X + c) = V(X)\).
  • Richtig. Sowohl Varianz als auch Standardabweichung sind Streuungsmaße für Zufallsvariablen.
  • Richtig. Der Grenzwert der Mittelwerte von Werten aus einer Zufallsvariablen ist der Erwartungswert (wenn dieser exisitiert).
  • Richtig. Der Erwartungswert ist linear und kann deshalb mit linearen Transformationen vertauscht werden.

Ein Beratungsunternehmen überlegt die Expansion in eine neue Region. In einer umfangreichen Marktstudie wurde ermittelt, mit welcher Wahrscheinlichkeit welche Anzahl an Neukunden gewonnen werden könnte.

Dabei ergaben sich folgende Werte:

Anzahl Kunden \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\)
Wahrscheinlichkeit \(0.02\) \(0.38\) \(0.01\) \(0.25\) \(0.34\)

Die Kosten des Unternehmens für die Expansion belaufen sich auf Fixkosten von \(113\) GE und variable Kosten von \(36\) GE pro Kunde. Der Erlös pro Kunde beträgt \(86\) GE.

Berechnen Sie den zu erwartenden Gewinn (bzw. Verlust) der Expansion.

Eine stetige Zufallsvariable \(X\) hat folgende Dichtefunktion

\[\begin{aligned} f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} \frac{1}{x\ln(8)} & 1 \leq x \leq 8 \\ 0 & \mbox{sonst} \end{array} \right. \end{aligned}\]

Welchen Wert erhält man für \(E(X)\)?