Woche 2

Überblick

Thema	Inhalte	Folien	Video	Buch	Training
2	Ableitung einer Funktion	1-6	2a	3.1
	Differenzieren	7-15	2b-c	3.2	3.2
	Optimierung	16-29	2d-f	3.4/3.5	3.4/3.5
					Quiz
					PS-Übungsaufgabe

Ableitung einer Funktion

Differenzieren

Optimierung

Quiz

Welche der folgenden Aussagen über die Ableitung von Funktionen \(f(x)\) sind richtig?

Die Ableitung der Potenzfunktion \(f(x) = x^n\) ist nur dann \(f'(x) = n \cdot x^{n - 1}\), wenn \(n \in \mathrm{N}\) eine natürliche Potenz ist.Die Ableitung der Exponentialfunktion \(\exp(x)\) ist der natürliche Logarithmus \(\ln(x)\).Eine additive Konstante \(c\) in \(f(x) = g(x) + c\) fällt beim Differenzieren weg.Die Ableitung einer Summe \(f(x) + g(x)\) ist die Summe der Ableitungen \(f'(x) + g'(x)\).Die Ableitung eines Produkts \(f(x) \cdot g(x)\) ist das Produkt der Ableitungen \(f'(x) \cdot g'(x)\).

Details zur Ableitung von Funktionen mit einer Variablen werden auf den VO-Folien im Abschnitt Differenzieren vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 3.2.

Falsch. Die Ableitungsregel gilt für alle Potenzen \(n \in \mathrm{R}\).
Falsch. Die Ableitung von \(\exp(x)\) ist wieder \(\exp(x)\). Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion von \(\exp(x)\).
Richtig. Dies ergibt sich aus der Summenregel und \((c)' = 0\).
Richtig. Dies ist die Summenregel beim Differenzieren.
Falsch. Die Ableitung von \(f(x) \cdot g(x)\) ist laut der Produktregel \(f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\).

Welche der folgenden Aussagen zur Kurvendiskussion einer Funktion \(f(x)\) sind richtig?

Wenn \(x_0\) ein (inneres) lokales Maximum oder ein Minimum von \(f(x)\) ist, dann ist \(f'(x_0) = 0\).Ist \(f'(x) < 0\) für \(x \in (a, b)\), dann ist \(f(x)\) auf diesem Intervall streng monoton fallendIst eine Funktion in dem Intervall \((a, b)\) konvex, so ist sie auf diesem Intervall streng monoton wachsend.Ist \(f''(x) > 0\) für \(x \in (a, b)\), dann ist \(f(x)\) auf diesem Intervall konvex (= nach oben offen).Wenn \(f'(x_0) = 0\), dann ist \(x_0\) entweder ein lokales Maximum oder ein Minimum von \(f(x)\).

Details zur Kurvendiskussion werden auf den VO-Folien im Abschnitt Optimierung einer Funktion mit einer Variablen vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 3.5.

Richtig. Die Bedingung \(f'(x_0) = 0\) ist eine notwendige Bedingung für ein lokales Maximum oder Minimum.
Richtig. Das Vorzeichen der ersten Ableitung zeigt an, ob eine Funktion steigt oder fällt.
Falsch. Konvexe Funktionen können steigend und/oder fallend sein (so wie bspw. \(x^2\)).
Richtig. Das Vorzeichen der zweiten Ableitung zeigt die Wölbung einer Funktion an.
Falsch. Die Bedingung \(f'(x_0) = 0\) ist notwendig aber nicht hinreichend. D.h.: Wenn \(x_0\) ein lokales Maximum oder ein Minimum von \(f(x)\) ist, dann ist \(f'(x_0) = 0\).

Gegeben ist die Funktion \(f(x)= -4 x ^{2} \cdot \exp{(-3 x + 2)}\).

Führen Sie eine Kurvendiskussion durch.

Welchen Wert nimmt die erste Ableitung im Punkt \(x=0.92\) an?

Welchen Wert nimmt die Wölbung im Punkt \(x=0.02\) an?

An welcher Stelle (\(x\)-Koordinate) liegt das lokale Minimum?

Wie lautet der zugehörige Funktionswert des lokalen Minimums?

An welcher Stelle (\(x\)-Koordinate) liegt der Wendepunkt links vom lokalen Minimum?

An welcher Stelle (\(x\)-Koordinate) liegt der Wendepunkt rechts vom lokalen Minimum?

Wie lautet der zum Wendepunkt zugehörige Funktionswert links vom lokalen Minimum?

Wie lautet der zum Wendepunkt zugehörige Funktionswert rechts vom lokalen Minimum?

In einem Kino in einer Kleinstadt läuft einmal pro Tag eine Vorstellung bei folgender Kostenfunktion:

\[\begin{aligned} C(q) &=& 0.001 \cdot q^3 -0.02 \cdot q^2 + 0.25 \cdot q + 6 \end{aligned}\]

Bei einem Preis von \(6\) GE pro Karte würden \(192\) Karten pro Vorstellung nachgefragt. Jede Erhöhung des Preises um \(5\) GE senkt die Anzahl der verkauften Karten um \(30\) Karten.

Stellen Sie zunächst die Nachfragefunktion bzw. inverse Nachfragefunktion für die Nachfrage pro Tag auf und führen Sie eine Erlösoptimierung durch. Ermitteln Sie damit folgende Größen:

Steigung der inversen Nachfragefunktion:

Sättigungsmenge (d.h. die tägliche Nachfrage, wenn die Vorstellung gratis ist):

Nachfrage an Karten pro Tag im Erlösoptimum:

Preis im Erlösoptimum:

Maximal erzielbarer Erlös pro Tag:

Kosten pro Tag im Erlösoptimum:

Gewinn pro Tag im Erlösoptimum (Hinweis: Wird im Falle eines Verlusts negativ.):

PS-Übungsaufgabe

Die Ölfirma Schnell fördert Öl mittels 9 identischer Plattformen. Die Ölfirma produziert unter der Kostenfunktion

\[\begin{aligned} C(q) &=& 0.04 \cdot q^2 + 10 \cdot q + 14500 \end{aligned}\]

wobei \(q\) die Gesamtmenge der geförderten Megabarrel (Mbbl) Öl bezeichnet.

Bei einem Preis von \(36\) GE beträgt die nachgefragte Menge \(3161\). Bei einem Preis von \(50\) GE beträgt die nachgefragte Menge \(3091\).

Stellen Sie die lineare Nachfragefunktion als Funktion des Preises sowie die inverse Nachfragefunktion als Funktion der Menge auf und führen Sie eine Erlösoptimierung durch. Ermitteln Sie damit folgende Größen:

Steigung der Nachfragefunktion:

Sättigungsmenge (d.h. die Nachfrage, wenn das Gut gratis ist):

Nachgefragte Menge an Öl pro Plattform im Erlösoptimum:

Preis im Erlösoptimum:

Maximal erzielbarer Erlös:

Gesamtkosten im Erlösoptimum:

Gewinn im Erlösoptimum (Hinweis: Wird im Falle eines Verlusts negativ.):