Woche 2

Überblick

Thema	Inhalte	Folien	Video	Buch	Training
2	Ableitung einer Funktion	1-6	2a	3.1
	Differenzieren	7-15	2b-c	3.2	3.2
	Optimierung	16-29	2d-f	3.4/3.5	3.4/3.5
					Quiz

Ableitung einer Funktion

2a

Differenzieren

2b

2c

Optimierung

2d

2e

2f

Quiz

a

Welche der folgenden Aussagen über die Ableitung von Funktionen \(f(x)\) sind richtig?

Die Ableitung der Exponentialfunktion \(\exp(x)\) ist der natürliche Logarithmus \(\ln(x)\).Die Ableitung eines Produkts \(f(x) \cdot g(x)\) ist das Produkt der Ableitungen \(f'(x) \cdot g'(x)\).Die Ableitung einer Summe \(f(x) + g(x)\) ist die Summe der Ableitungen \(f'(x) + g'(x)\).Die Ableitung der Potenzfunktion \(f(x) = x^n\) ist nur dann \(f'(x) = n \cdot x^{n - 1}\), wenn \(n \in \mathrm{N}\) eine natürliche Potenz ist.Eine additive Konstante \(c\) in \(f(x) = g(x) + c\) fällt beim Differenzieren weg.

Details zur Ableitung von Funktionen mit einer Variablen werden auf den VO-Folien im Abschnitt Differenzieren vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 3.2.

• Falsch. Die Ableitung von \(\exp(x)\) ist wieder \(\exp(x)\). Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion von \(\exp(x)\).
• Falsch. Die Ableitung von \(f(x) \cdot g(x)\) ist laut der Produktregel \(f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\).
• Richtig. Dies ist die Summenregel beim Differenzieren.
• Falsch. Die Ableitungsregel gilt für alle Potenzen \(n \in \mathrm{R}\).
• Richtig. Dies ergibt sich aus der Summenregel und \((c)' = 0\).

b

Welche der folgenden Aussagen zur Kurvendiskussion einer Funktion \(f(x)\) sind richtig?

Ist \(f'(x) < 0\) für \(x \in (a, b)\), dann ist \(f(x)\) auf diesem Intervall streng monoton fallendWenn \(f'(x_0) = 0\), dann ist \(x_0\) entweder ein lokales Maximum oder ein Minimum von \(f(x)\).Ist eine Funktion in dem Intervall \((a, b)\) konvex, so ist sie auf diesem Intervall streng monoton wachsend.Ist eine Funktion in dem Intervall \((a, b)\) konkav, so hat sie im Inneren dieses Intervalls genau ein Maximum.Ist \(f''(x) > 0\) für \(x \in (a, b)\), dann ist \(f(x)\) auf diesem Intervall konvex (= nach oben offen).

Details zur Kurvendiskussion werden auf den VO-Folien im Abschnitt Optimierung einer Funktion mit einer Variablen vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 3.5.

• Richtig. Das Vorzeichen der ersten Ableitung zeigt an, ob eine Funktion steigt oder fällt.
• Falsch. Die Bedingung \(f'(x_0) = 0\) ist notwendig aber nicht hinreichend. D.h.: Wenn \(x_0\) ein lokales Maximum oder ein Minimum von \(f(x)\) ist, dann ist \(f'(x_0) = 0\).
• Falsch. Konvexe Funktionen können steigend und/oder fallend sein (so wie bspw. \(x^2\)).
• Falsch. Dies gilt nur, wenn es in dem Intervall einen stationärer Punkt gibt, was aber nicht der Fall sein muss.
• Richtig. Das Vorzeichen der zweiten Ableitung zeigt die Wölbung einer Funktion an.

c

Gegeben ist die Funktion \(f(x)= -5 x ^{2} \cdot \exp{(-4 x + 5)}\).

Führen Sie eine Kurvendiskussion durch.

Welchen Wert nimmt die erste Ableitung im Punkt \(x=0.4\) an?

Welchen Wert nimmt die Wölbung im Punkt \(x=0.5\) an?

An welcher Stelle (\(x\)-Koordinate) liegt das lokale Minimum?

Wie lautet der zugehörige Funktionswert des lokalen Minimums?

An welcher Stelle (\(x\)-Koordinate) liegt der Wendepunkt links vom lokalen Minimum?

An welcher Stelle (\(x\)-Koordinate) liegt der Wendepunkt rechts vom lokalen Minimum?

Wie lautet der zum Wendepunkt zugehörige Funktionswert links vom lokalen Minimum?

Wie lautet der zum Wendepunkt zugehörige Funktionswert rechts vom lokalen Minimum?

d

In einem Kino in einer Kleinstadt läuft einmal pro Tag eine Vorstellung bei folgender Kostenfunktion:

\[\begin{aligned} C(q) &=& 0.003 \cdot q^3 -0.01 \cdot q^2 + 0.1 \cdot q + 10 \end{aligned}\]

Bei einem Preis von \(4\) GE pro Karte würden \(96\) Karten pro Vorstellung nachgefragt. Jede Erhöhung des Preises um \(5\) GE senkt die Anzahl der verkauften Karten um \(30\) Karten.

Stellen Sie zunächst die Nachfragefunktion bzw. inverse Nachfragefunktion für die Nachfrage pro Tag auf und führen Sie eine Erlösoptimierung durch. Ermitteln Sie damit folgende Größen:

Steigung der inversen Nachfragefunktion:

Sättigungsmenge (d.h. die tägliche Nachfrage, wenn die Vorstellung gratis ist):

Nachfrage an Karten pro Tag im Erlösoptimum:

Preis im Erlösoptimum:

Maximal erzielbarer Erlös pro Tag:

Kosten pro Tag im Erlösoptimum:

Gewinn pro Tag im Erlösoptimum (Hinweis: Wird im Falle eines Verlusts negativ.):