Woche 10

Überblick

Kapitel	Thema	Folien	Video	Buch	Training
6	Globale Optimierung	24-37	6f-g	8.6	8.6
	Implizite Funktionen	38-48	6h-i	8.7	8.7
	Optimierung unter Nebenbedingungen	49-60	6j-k	8.8	8.8
					Quiz

Globale Optimierung

6f

6g

Implizite Funktionen

6h

6i

Optimierung unter Nebenbedingungen

6j

6k

Quiz

a

Welche der folgenden Aussagen bzgl. Funktionen \(f(x_1, x_2)\) sind richtig?

• TRUEFALSE Wenn \(\mathbf{a}\) ein globales Maximum oder Minimum ist, dann ist \(f'(\mathbf{a}) = 0\).
• TRUEFALSE \(f(x_1, x_2)\) heißt konvex, wenn \(f''(x_1, x_2)\) überall positiv semidefinit ist.
• TRUEFALSE Damit ein stationärer Punkt ein Maximum ist, müssen alle Elemente der Hesse-Matrix kleiner als \(0\) sein.
• TRUEFALSE Bei einer konkaven Funktion ist jeder stationäre Punkt ein globales Maximum.
• TRUEFALSE Wenn \(f'(\mathbf{a}) = 0\), dann ist \(\mathbf{a}\) ein globales Maximum oder Minimum.

Details zur Optimierung von Funktionen mit zwei Variablen werden auf den VO-Folien im Kapitel 6 im Abschnitt Globale Optimierung vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 8.4.

• Richtig. \(f'(\mathbf{a}) = 0\) ist eine notwendige Bedingung für ein Maximum oder Minimum.
• Richtig. Eine Funktion heißt konvex, wenn ihre Hesse-Matrix überall positiv semidefinit ist.
• Falsch. Die Hesse-Matrix muss negativ semidefinit sein aber nicht alle Elemente müssen kleiner als \(0\) sein.
• Richtig. Bei einer konkaven Funktion ist jeder stationäre Punkt ein globales Maximum.
• Falsch. \(f'(\mathbf{a}) = 0\) ist eine notwendige aber keine hinreichende Bedingung für ein Maximum oder Minimum.

b

Welche der folgenden Aussagen bzgl. Funktionen \(F(x_1, x_2)\) sind richtig?

• TRUEFALSE Unter der Bedingung, dass \(F(x_1, x_2) = \text{const}\) ist \(x_1 = f(x_2)\) implizit festgelegt.
• TRUEFALSE Ist \(x_1 = f(x_2)\) implizit festgelegt und \(f'(x_2) = -2\), dann können zwei marginale Einheiten von \(x_2\) durch eine marginale Einheit von \(x_1\) substitutiert werden.
• TRUEFALSE Die Steigung einer impliziten Funktion gibt das Tauschverhältnis der beiden Variablen an, bei dem der Funktionswert konstant bleibt.
• TRUEFALSE Bei einer Optimierung von \(C(x_1, x_2)\) unter der Nebenbedingung \(F(x_1, x_2) = \text{const}\), müssen alle partiellen Ableitungen von \(C\) und \(F\) gleich \(0\) sein.
• TRUEFALSE Der Lagrange-Multiplikator gibt an, um wie viel sich der optimale Wert der Zielfunktion näherungsweise ändern würde, wenn die Nebenbedingung um eine marginale Einheit gelockert wird.

Details zu implizit definierten Funktionen sowie der Methode von Lagrane werden auf den VO-Folien im Kapitel 6 in den Abschnitten Implizite Funktionen und Optimierung unter Nebenbedingungen vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 8.5 und 8.6.

• Richtig. Die Bedingung legt implizit entweder \(x_1\) als Funktion von \(x_2\) fest oder umgekehrt \(x_2\) als Funktion von \(x_1\).
• Falsch. Eine marginale Einheit von \(x_2\) kann durch zwei marginale Einheiten von \(x_1\) substitutiert werden.
• Richtig. Die Steigung einer impliziten Funktion ist gegeben durch \(-\frac{F'_1(x_1, x_2)}{F'_2(x_1, x_2)}\) und gibt somit das Tauschverhältnis an, bei dem der Funktionswert (approximativ) konstant bleibt.
• Falsch. Die Steigung der impliziten Funktionen von \(C\) und \(F\) müssen in einem Optimum unter Nebenbedingung gleich sein, nicht aber die partiellen Ableitung \(0\).
• Richtig. Wenn \(C(x_1, x_2)\) die Zielfunktion und \(F(x_1, x_2) = q\) die Nebenbedingung ist, so gilt \(\frac{\partial C^*}{\partial q} = \lambda^*\).