Woche 12

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7	Zufallsvariablen (Zufallsgrößen)	53-95	7i-n	5.1	5.1d-f
					Quiz

Zufallsvariablen (Zufallsgrößen)

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Quiz

a

Welche der Aussagen über diskrete Zufallsvariablen (oder Zufallsgrößen) sind richtig?

Die Funktion \(f(x_i) = P(X = x_i)\) mit \(i = 1, 2, \ldots\) heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariable \(X\).Die Verteilungsfunktion \(F(x)\) einer diskreten Zufallsvariable \(X\) kann aus der Wahrscheinlichkeitsfunktion \(f(x)\) berechnet werden, jedoch kann umgekehrt nicht \(f(x)\) aus \(F(x)\) berechnet werden.Eine Zufallsvariable ordnet jedem möglichen Ausgang eines Zufallsvorgangs eine Zahl zu.Benfords Gesetz ist eine Vorschrift nach der in der Wahrscheinlichkeitsrechnung die Anfangsziffern von Zahlen gebildet werden müssen.Die Verteilungsfunktion \(F(x)\) einer diskreten Zufallsvariable \(X\) ist eine Stufenfunktion. Die Sprungstellen sind die möglichen Werte von \(X\) und die Sprunghöhe sind die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.

Details zu diskreten Zufallsvariablen werden auf den VO-Folien zu Thema 7 im Abschnitt Zufallsvariablen (Zufallsgrößen) vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 5.1.

• Richtig. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion \(f(x_i)\) gibt die Wahrscheinlichkeit \(P(X = x_i)\) für alle \(i = 1, 2, \ldots\) an.
• Falsch. Die Verteilungsfunktion \(F(x)\) lässt sich auch aus der Wahrscheinlichkeitsfunktion \(f(x)\) berechnen und umgekehrt.
• Richtig. Eine Zufallsvariable ist eine in einem Zufallsvorgang beobachtbare Zahl.
• Falsch. Benfords Gesetz beschreibt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die häufig ein gutes Modell ist für das Vorkommen von Anfangsziffern in Texten.
• Richtig. Die Verteilungsfunktion \(F(x) = P(X \le x)\) kann berechnet werden als die Summe der Wahrscheinlichkeiten \(f(x_i)\) für \(x_i \le x\).

b

Welche der Aussagen über stetige Zufallsvariablen (oder Zufallsgrößen) sind richtig?

Die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall entspricht dem bestimmten Integral der Wahrscheinlichkeitsdichte auf diesem Intervall.Weil stetige Zufallsvariablen jeden Wert in einem Intervall annehmen können, ist der Wertebereich nicht nach oben oder unten beschränkt.Die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariable \(X\) gibt die zugehörige Wahrscheinlichkeit an: \(f(x) = P(X = x)\).Eine stetige Zufallsvariable kann immer unendlich viele Werte annehmen.Für eine stetige Zufallsvariable \(X\) ist die Wahrscheinlichkeit \(P(X \leq x)\), also inklusive dem Wert \(x\), größer als \(P(X < x)\) ohne den Wert \(x\).

Details zu stetigen Zufallsvariablen werden auf den VO-Folien zu Thema 7 im Abschnitt Zufallsvariablen (Zufallsgrößen) vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 5.1.

• Richtig. Die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall kann man durch Integration aus der Dichte berechnen: \(\displaystyle P(a < X < b) = \int_a^b f(x) \text{d} x\).
• Falsch. Ein einfaches Gegenbeispiel ist die stetige Gleichverteilung im Einheitsintervall oder etwas allgemeiner auch stückweise konstante stetige Zufallsvariablen.
• Falsch. Ein einzelner Punkt \(x\) hat keine Wahrscheinlichkeitsmasse, weshalb die Dichtefunktion die Dichte im Intervall und nicht die Wahrscheinlichkeit an der Stelle \(x\) angibt.
• Richtig. Die möglichen Ausprägungen einer stetigen Zufallsvariable sind immer überabzählbar, bspw. alle reellen Werte in einem bestimmten Intervall.
• Falsch. Die Wahrscheinlichkeiten sind genau gleich \(P(X \leq x) = P(X < x)\), weil ein einzelner Punkt \(x\) keine Wahrscheinlichkeitsmasse hat.

c

Die Zeit \(X\) (in Tagen), die ein Arbeitsloser braucht, um wieder eine Anstellung zu finden, hat annähernd eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit folgender Dichtefunktion: \[\begin{aligned} f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & x < 0 \\ 0.0093 \cdot \exp (-0.0093 x) & x \geq 0 \end{array} \right. \end{aligned}\]

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Arbeitsloser genau \(246\) Tage benötigt, um eine Anstellung zu finden? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Arbeitsloser mehr als \(86\) Tage benötigt, um eine Anstellung zu finden? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

Nach wie vielen Tagen hat ein Arbeitsloser mit einer Wahrscheinlichkeit von \(85\)% eine Anstellung gefunden?

d

Eine stetige Zufallsvariable \(X\) hat folgende Dichtefunktion

\[f(x)= \left\{ \begin{array}{cc} \frac{1}{x\ln(5)} & 1 \leq x \leq 5 \\ 0 & \mbox{sonst} \end{array} \right.\]

Berechnen Sie die folgenden Größen. (Hinweis: Stellen Sie zunächst allgemein die Verteilungsfunktion \(F(x)\) auf, da diese für mehrere Berechnungen verwendet werden kann.)

\(F(3.9)\)

\(P(X = 2.2)\)

\(P(X < 2.5)\)

\(P(2 \leq X \leq 4.4)\)

\(x_{0.1}\)

e

Ein diskrete Zufallsvariable \(X\) hat folgende Verteilungsfunktion \(F(x)\) für \(x = 1, 2, \dots, 7\). Berechnen Sie die zugehoerige Wahrscheinlichkeitsfunktion \(f(x)\).

\(x\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)
\(F(x)\)	\(0.06\)	\(0.19\)	\(0.35\)	\(0.42\)	\(0.53\)	\(0.75\)	\(1.00\)
\(f(x)\)

Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten:

\(P(X = 2) =\)

\(P(X > 4) =\)

\(P(2 < X \leq 4) =\)

Die Verteilungsfunktion ergibt sich aus den Zuwächsen der Verteilungssfunktion \(F(x)\), d.h. \(f(x) = F(x) - F(x - 1)\) für \(x = 1, 2, \dots, 7\).

\(x\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)
\(F(x)\)	\(0.06\)	\(0.19\)	\(0.35\)	\(0.42\)	\(0.53\)	\(0.75\)	\(1.00\)
\(f(x)\)	\(0.06\)	\(0.13\)	\(0.16\)	\(0.07\)	\(0.11\)	\(0.22\)	\(0.25\)

Damit können die drei gesuchten Wahrscheinlichkeiten berechnet werden:

\[\begin{eqnarray*} P(X = 2) & = & f(2) = F(2) - F(1) = 0.13\\ P(X > 4) & = & 1 - P(X \leq 4) = 1 - F(4) = 1 - 0.42 = 0.58\\ P(2 < X \leq 2) & = & P(X \leq 4) - P(X \leq 2) = F(4) - F(2) = 0.42 - 0.19 = 0.23 \end{eqnarray*}\]