Woche 12 – mathe4wiwi

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7	Zufallsvariablen (Zufallsgrößen)	53-95	7i-n	5.1	5.1d-f
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Welche der Aussagen über diskrete Zufallsvariablen (oder Zufallsgrößen) sind richtig?

Eine Zufallsvariable ordnet jedem möglichen Ausgang eines Zufallsvorgangs eine Zahl zu.Die Verteilungsfunktion \(F(x)\) einer diskreten Zufallsvariable \(X\) kann aus der Wahrscheinlichkeitsfunktion \(f(x)\) berechnet werden, jedoch kann umgekehrt nicht \(f(x)\) aus \(F(x)\) berechnet werden.Die Verteilungsfunktion \(F(x)\) einer diskreten Zufallsvariable \(X\) ist eine Stufenfunktion. Die Sprungstellen sind die möglichen Werte von \(X\) und die Sprunghöhe sind die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.Eine diskrete Zufallsvariable \(X\) kann nur endlich viele Werte annehmen.Die Funktion \(f(x_i) = P(X = x_i)\) mit \(i = 1, 2, \ldots\) heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariable \(X\).

Details zu diskreten Zufallsvariablen werden auf den VO-Folien zu Thema 7 im Abschnitt Zufallsvariablen (Zufallsgrößen) vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 5.1.

Richtig. Eine Zufallsvariable ist eine in einem Zufallsvorgang beobachtbare Zahl.
Falsch. Die Verteilungsfunktion \(F(x)\) lässt sich auch aus der Wahrscheinlichkeitsfunktion \(f(x)\) berechnen und umgekehrt.
Richtig. Die Verteilungsfunktion \(F(x) = P(X \le x)\) kann berechnet werden als die Summe der Wahrscheinlichkeiten \(f(x_i)\) für \(x_i \le x\).
Falsch. Eine Zufallsvariable \(X\) heißt diskret, wenn sie nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte \(x_1, x_2, \ldots, x_k, \ldots\) annehmen kann.
Richtig. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion \(f(x_i)\) gibt die Wahrscheinlichkeit \(P(X = x_i)\) für alle \(i = 1, 2, \ldots\) an.

Welche der Aussagen über stetige Zufallsvariablen (oder Zufallsgrößen) sind richtig?

Der Median einer stetigen Zufallsvariablen ist der Wert, so dass 50% der Werte links und 50% der Werte rechts davon liegen.Die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall entspricht dem bestimmten Integral der Wahrscheinlichkeitsdichte auf diesem Intervall.Für eine stetige Zufallsvariable \(X\) ist die Wahrscheinlichkeit \(P(X \leq x)\), also inklusive dem Wert \(x\), größer als \(P(X < x)\) ohne den Wert \(x\).Für eine stetige Zufallsvariable \(X\) gilt: \(P(a \leq X \leq b) = P(a < X < b)\).Die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariable \(X\) gibt die zugehörige Wahrscheinlichkeit an: \(f(x) = P(X = x)\).

Details zu stetigen Zufallsvariablen werden auf den VO-Folien zu Thema 7 im Abschnitt Zufallsvariablen (Zufallsgrößen) vorgestellt sowie im Buch im Abschnitt 5.1.

Richtig. Für den Median \(x_{0.5}\) gilt: \(P(X \leq x_{0.5}) = P(X \geq x_{0.5}) = 0.5\).
Richtig. Die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall kann man durch Integration aus der Dichte berechnen: \(\displaystyle P(a < X < b) = \int_a^b f(x) \text{d} x\).
Falsch. Die Wahrscheinlichkeiten sind genau gleich \(P(X \leq x) = P(X < x)\), weil ein einzelner Punkt \(x\) keine Wahrscheinlichkeitsmasse hat.
Richtig. Die Intervallgrenzen selbst haben keine Wahrscheinlichkeitsmasse, weshalb die Wahrscheinlichkeit für das abgeschlossene und für das offene Interval gleich ist.
Falsch. Ein einzelner Punkt \(x\) hat keine Wahrscheinlichkeitsmasse, weshalb die Dichtefunktion die Dichte im Intervall und nicht die Wahrscheinlichkeit an der Stelle \(x\) angibt.

Die Zeit \(X\) (in Tagen), die ein Arbeitsloser braucht, um wieder eine Anstellung zu finden, hat annähernd eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit folgender Dichtefunktion: \[\begin{aligned} f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & x < 0 \\ 0.0119 \cdot \exp (-0.0119 x) & x \geq 0 \end{array} \right. \end{aligned}\]

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Arbeitsloser genau \(147\) Tage benötigt, um eine Anstellung zu finden? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Arbeitsloser mehr als \(117\) Tage benötigt, um eine Anstellung zu finden? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

Nach wie vielen Tagen hat ein Arbeitsloser mit einer Wahrscheinlichkeit von \(71\)% eine Anstellung gefunden?

Eine stetige Zufallsvariable \(X\) hat folgende Dichtefunktion

\[f(x)= \left\{ \begin{array}{cc} \frac{1}{x\ln(7)} & 1 \leq x \leq 7 \\ 0 & \mbox{sonst} \end{array} \right.\]

Berechnen Sie die folgenden Größen. (Hinweis: Stellen Sie zunächst allgemein die Verteilungsfunktion \(F(x)\) auf, da diese für mehrere Berechnungen verwendet werden kann.)

\(F(6.9)\)

\(P(X = 3.5)\)

\(P(X > 8.2)\)

\(P(2.2 < X < 7)\)

\(x_{0.4}\)

Ein diskrete Zufallsvariable \(X\) hat folgende Verteilungsfunktion \(F(x)\) für \(x = 1, 2, \dots, 8\). Berechnen Sie die zugehörige Wahrscheinlichkeitsfunktion \(f(x)\).

\(x\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)
\(F(x)\)	\(0.14\)	\(0.19\)	\(0.34\)	\(0.52\)	\(0.64\)	\(0.74\)	\(0.88\)	\(1.00\)
\(f(x)\)

Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten:

\(P(X = 3) =\)

\(P(X > 8) =\)

\(P(3 \leq X < 8) =\)

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